Integral lösen / Partialbruchzerlegung

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blau Auf diesen Beitrag antworten »
Integral lösen / Partialbruchzerlegung
Hallo,

zu lösen ist folgendes Integral:


Mein Ansatz für Partialbruch-Zerlegung lautet:


Durch Multiplizieren mit den entsprechenden Termen im Nenner und Einsetzen der Nullstellen konnte ich einfach ermitteln, dass A=5 und C=-6 ist.

Also habe ich:


Allerdings scheitere ich bei B kläglich. Ich habe einen Koeffizienten-Vergleich versucht, die gleiche Einsetzmethode wie für A und C, jedoch komme ich nie auf ein sinnvolles Ergebnis, das "einfach" aussieht. Laut Wolfram Alpha ist B=3(x-1), aber ich komme einfach nicht darauf.
Kann mir jemand hierbei weiterhelfen?
Wäre ein anderer Lösungsansatz schneller/einfacher?

LG
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Zähler und Nennergrad identisch sind, bietet sich wohl erstmal eine Polynomdivision an.

Wink
 
 
blau Auf diesen Beitrag antworten »

Also den Nenner ausmultiplizieren und dann Polynomdivision? Ich mache damit den Zählergrad kleiner, ja?
Zumindest würde mein Ergebnis der Division lauten:


(Mit der Annahme, man beende die Polynomdivision, sobald der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners ist).

Den neuen Nenner kann ich schreiben als:
und damit sehe ich die Nullstellen 0,1 und ? (eben Fehler bemerkt, daher editiert)
Ab dieser Stelle dann doch Partialbruchzerlegung?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Der Nenner bleibt doch identisch, also:



Und nun Partialbruchzerlegung, ja.
blau Auf diesen Beitrag antworten »

Auf ein Neues, Danke schonmal für den Ratschlag. Habe garnicht dran gedacht, gleich mal Polynomdivision anzuwenden.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Das übt ja nur. Augenzwinkern

edit:

Zitat:
und damit sehe ich die Nullstellen 0,1 und ?


Null ist wohl keine Nullstelle. unglücklich
blau Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, ich weiß. Habe da etwas voreilig getippt und abgeschickt.
Jedenfalls konnte ich nun eine Stammfunktion ermitteln und B ist übrigens auch 0.
Dankeschön smile
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das freut mich.

Und wie lautet deine Stammfunktion nun?
blau Auf diesen Beitrag antworten »

Sie lautet
.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - das passt doch. Freude
blau Auf diesen Beitrag antworten »

Das freut. Schönen Restabend Tanzen
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Danke - dir auch!

Wink
blau Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu,

ich hänge bei einem weiteren Integral bzw. bin mir nicht sicher, ob man das darf.
Wenn ich ein Integral (über x) habe und substituiere u=sinxcosx, dann erhalte ich dx= du/(-sin²x+cos²x). Darf ich diesen Term vor das Integral ziehen? (Natürloch ohne du)

Ich integriere ja dann über u und nicht mehr x. Oder müssen alle Terme mit u und x im Integral bleiben?
Grüße.


edit:

Ich konnte mir das gerade selber beantworten und damit funktioniert mein Lösungsweg für:


nicht. u hängt ja von x ab und daher darf man es hier nicht vorziehen aufgrund der Subtitution. Irgendwelche Denkanstöße für diese Aufgabe?
Danke smile
wopi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich befürchte, dafür kann man keine explizite Stammfunktion angeben!
blau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wopi
Ich befürchte, dafür kann man keine explizite Stammfunktion angeben!


Was lässt dich das vermuten? WolframAlpha schafft eine Lösung, aber die ist mir dann doch etwas zu unschön.
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

keine Furcht

smile

1.) setze sin(2x)= 2 sin(x) *cos(x)
2.) Dann substituiere die bekannte Weierstraß Substitution

t= tan(x/2)

Viel Spaß damit

smile
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