Gleichungssystem mit 2 Parametern

20.01.2015, 16:57

Hodor

Gleichungssystem mit 2 Parametern

Hallo,
ich habe hier ein Lgs mit 2 Parametern und soll bestimmen, für welches a und b das System eine, keine und unendlich viele Lösungen hat. Hab bisher übers Internet nicht genug in Erfahrung bringen können und hoffe, dass ihr mir hier vielleicht etwas auf die Sprünge helfen könntet. (Muss es mir gerade per google beibringen.)
So sieht es aus:

x - 2y + 3z = -4
2x + y + z = 2
x + ay + 2z = -b

nun kann ich ja den Rang der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix berechnen und darüber meine Parameter bestimmen. Jetzt weiss ich zwar, wie ich den Rang der Koeffizientenmatrix bestimmen kann, aber nicht, wie ich den der erweiterten Koeffizientenmatrix bestimmen kann, ohne den Gauß anzuwenden.

Beim Gauß kam bei mir für x= -2 + (b+9)/(a-2)
y= 1- (b/2(a-2))
z= 3b/(a-2)
Normalerweise würde ich sagen, das liegt an meiner Konzentration, wenn das nicht stimmt,
aber mein Taschenrechner hat ganz andere Ergebnisse ausgespuckt:
z.B.: x=(2a+b)/(7a-11)

bei der Gelegenheit wär ich übrigens auch froh über einen Link, wie man beim Classpad 400 die erweiterte Koef.matrix eingibt bzw. berechnet. (Hab den erst heute bekommen.)

Beste Grüße
und schonmal vielen Dank!
Hodor

20.01.2015, 19:59

Dopap

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kann ich alles nicht nachvollziehen.

bei mir entsteht mit Gauß als dritte Zeile:

L3: $\begin{eqnarray*} 0 / 0/ a+1 / -2a-b \end{eqnarray*}$

und daran lassen sich die möglichen Fälle ablesen.

21.01.2015, 11:51

Hodor

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na das ist doch schonmal was. Dann weiss ich zumindest, das ich das offensichtlich verhaut hab.
Kann man trozdem irgendwie die Determinante der erweiterten Koeffizientenmatrix ohne Gauß berechnen?

21.01.2015, 14:23

Hodor

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Ok, nun kam ich auf das selbe Ergebnis.
Dann wären meine Lösungen, falls ich mich nicht schon wieder verhauen hab:
$\begin{eqnarray*} a = -1 \end{eqnarray*}$ keine Lösung
$\begin{eqnarray*} a\neq-1 \wedge b=-2a \end{eqnarray*}$ unendlich => und x=-2z
$\begin{eqnarray*} a\neq-1 \wedge b \neq -2a \end{eqnarray*}$ eine Lösung

21.01.2015, 14:28

mYthos

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Durch elementare Zeilenumformungen.
D, die Koeffizientendeterminante, kommt dann leicht als D = (2a + b)/(a + 1)

Du siehst dann am Nenner, wann die Matrix regulär (invertierbar) ist, also wann eine eindeutige Lösung existiert.
Analog berechnest du die x-, y- und z- Determinante, Dx z.B. ist (2a + b)/(a + 1), Dy, Dz rechnest du selbst aus.
Damit kannst du dann auch an die Fälle für die Rangbestimmung herangehen.

mY+

Edit: Mein Post erfolgte, bevor dein letzter Beitrag zu sehen war ..

21.01.2015, 14:51

mYthos

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Ganz stimmt deine Lösung nicht.
Unter bestimmter Voraussetzung kann auch a = -1 sein (dann ist der Rang eben nicht 3)

mY+

21.01.2015, 15:27

Hodor

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OK, also erstmal zum Ergebnis, bei a=-1,
meintest du da die Vorraussetzung, dass b=0 ist und damit unendlich viele Lösungen existieren?

und zur Determinante nochmal:
das Problem eben ist, dass ich nicht weiss, wie ich mit der rechten Seite umzugehen hab.
Bisher kenn ich nur die Sarrus-Regel und beim überfliegen des laplaceschen Entwicklungssatzes hab ich auch nichts bezüglich der rechten Seite gefunden...
D.h. ich wollte mir den Gauß sparen, weil ich da zuviele Flüchtigkeitsfehler mache.

Danke jedefalls schonmal für die Hilfe!

21.01.2015, 16:04

mYthos

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Obwohl die Matrix bei a = -1 singulär ist (ihre Determinante ist Null), b = 2, gibt es ebenfalls unendlich viele Lösungen; es ist x = - t, y = 2 + t, z = t

Du kannst zur Lösung die Cramer'sche Regel verwenden.
Die Variablendeterminaten Dx, Dy, Dz bekommt man durch Ersetzen der jeweiligen Variablenspalte durch die rechts vom Gleichheitszeichen stehende Spalte.

Sarrus geht zwar immer, ist aber meist etwas umständlich.
Die Entwicklung nach Laplace ist weit eleganter, wenn man vorher noch mittels Zeilenumformungen Nullen erzeugt.

Die Matrix des gegebenen Systemes kann umgeformt werden zu

$\begin{eqnarray*} C = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & -4 \\ 0 & 5 & -5 & | & 10 \\ 0 & a+2 & -1 & | & -b + 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

D lässt sich hier sofort mit einer zweireihigen Determinante berechnen, bei den erweiterten, z.B Dx formt man nochmals um

$\begin{eqnarray*} D_x = \begin{pmatrix} -4 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ -b & a & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \\ -b & a & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt D und Dx beide Null sind (und dies auch für Dy, Dz zutrifft) erniedrigt sich der Rang der Matrizen von 3 auf 2, der Bruch Dx/D hat einen unbestimmten Wert und es gibt unendlich viele Lösungen, obgleich D = 0 ist.
KEINE Lösung gibt es dann, wenn D = 0 ist UND Dx, Dy, Dz nicht Null sind (Rang D = 2, Rang der erweiterten Matrix = 3)

mY+

21.01.2015, 16:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hodor
$\begin{eqnarray*} a = -1 \end{eqnarray*}$ keine Lösung
$\begin{eqnarray*} a\neq-1 \wedge b=-2a \end{eqnarray*}$ unendlich => und x=-2z
$\begin{eqnarray*} a\neq-1 \wedge b \neq -2a \end{eqnarray*}$ eine Lösung

Da ist generell was tüchtig durcheinandergeraten - richtig ist

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a = -1 \wedge b \neq 2 \end{eqnarray*}$ keine Lösung
$\begin{eqnarray*} a = -1 \wedge b = 2 \end{eqnarray*}$ unendlich viele Lösungen
$\begin{eqnarray*} a\neq-1 \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung

21.01.2015, 16:33

Hodor

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Ok, bei dem b hab ich mich ganz klar verguckt.

Diese Antwort bringt mich Tatsächlich weiter, danke!
Ich muss das ganze zwar nochmal genauer nachrechnen, aber es dämmert mir.

Die letzte Antwort kam während des verfassens.

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