Komplexe Zahl in kart. Form

20.01.2015, 16:28	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahl in kart. Form Bringen Sie die folgende komplexe Zahl auf die kart./algebr. Form und berechnen Sie anschließend die kart. Form von z³. $\begin{eqnarray} z = (2 - 4i)^2 + \frac{\|1 - \sqrt{3}\cdot i\|}{i} \end{eqnarray}$ Hab erstmal ausgerechnet, was (2-4i)^2 ist $\begin{eqnarray} (2 - 4i)^2 = -12 - 16i \end{eqnarray}$ Jetzt kann ich den Betrag ja noch weg machen. $\begin{eqnarray} \|z\| = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray}$ Somit $\begin{eqnarray} \|1 - \sqrt{3}\cdot i\| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3i})^2} \end{eqnarray}$ Wäre das denn bis hier erstmal richtig?
20.01.2015, 16:47	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahl in kart. Form Fast. Bei der Berechnung des Betrags hat das i nichts in der Wurzel zu suchen. Nur Real- und Imaginärteil. Viele Grüße Steffen
20.01.2015, 16:53	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber das i gehört doch zum Imaginärteil? Also der Imaginärteil ist doch Wurzel 3 mal i, nicht? Also so hier: $\begin{eqnarray} \|1 - \sqrt{3}\cdot i\| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3}\cdot i)^2} \end{eqnarray}$
20.01.2015, 16:56	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das i gehört eben nicht zum Imaginärteil. Bei a+bi ist der Realteil a und der Imaginärteil b. Nicht bi. Und der Betrag ist dann die Wurzel aus a²+b². Nicht aus a²+(bi)², denn das wäre ja die Wurzel aus a²-b².
20.01.2015, 17:04	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt Steht ja so sogar im Skript. Sorry.. Okay, dann hab ich also erstmal das hier: $\begin{eqnarray} z = -12 - 16i + \frac{2i}{i} \end{eqnarray}$ Wie geht es jetzt weiter?
20.01.2015, 17:26	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, Du hast Dich verschrieben und meinst $\begin{eqnarray} z = -12 - 16i + \frac{2}{i} \end{eqnarray}$ Und nun kannst Du 2/i mit i erweitern, um das i im Nenner loszuwerden.
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20.01.2015, 17:32	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich meinte es schon so, wie es da steht. Weil im Zähler muss doch auch noch das i stehen, was vorher im Betrag stand. Oder was ist jetzt damit passiert?
20.01.2015, 19:06	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst Dich einfach stur an die Vorschrift halten: der Betrag einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray} a+bi \end{eqnarray}$ ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate von Real- und Imaginärteil: $\begin{eqnarray} \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ Nicht mehr, nicht weniger. Wo soll da das i herkommen? Und hier ist $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=-\sqrt 3 \end{eqnarray}$ Jetzt?
20.01.2015, 19:14	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay gut. Dann steht da $\begin{eqnarray} z = -12 - 16i - 2i \end{eqnarray}$ Und das ist $\begin{eqnarray} z = -12 - 18i \end{eqnarray}$ Hab nun auch z³ schon ausgerechnet. $\begin{eqnarray} z^3 = 9936 - 1944i \end{eqnarray}$ Hab es durch ausklammern und dann ausmultiplizieren gelöst. Geht das auch mit dem Pascalschen Dreieck oder gilt das nur für die reellen Zahlen?
20.01.2015, 19:25	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Lösung stimmt, und Du hättest es in der Tat auch mit Pascal machen können. Ist aber nicht viel weniger Rechenarbeit, finde ich. Viele Grüße Steffen
20.01.2015, 19:26	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »

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