Erwartungswert einer Stoppzeit

20.01.2015, 18:51

löwe

Erwartungswert einer Stoppzeit

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge unabhängiger identisch verteilter ZV mit $\begin{eqnarray*} P[X_n=\pm 1]=1/2 \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} S_0=0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} S_n=\sum_{k=1}^n X_n \end{eqnarray*}$ .

Sei weiter $\begin{eqnarray*} \tau =\inf\left\{n:S_n=1\right\} \end{eqnarray*}$ .

Zeige $\begin{eqnarray*} E[S_\tau]=1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ist $\begin{eqnarray*} S_\tau \end{eqnarray*}$ nicht konstant gleich 1? Mir fällt nur schwer, das rigoros zu beweisen.

20.01.2015, 19:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von löwe
Ist $\begin{eqnarray*} S_\tau \end{eqnarray*}$ nicht konstant gleich 1?

Das stimmt, zumindest für die $\begin{align*} \omega \end{align*}$ mit $\begin{align*} \tau(\omega)<\infty \end{align*}$ .

Es ist also faktisch nur zu zeigen, dass $\begin{align*} P(\tau<\infty) = 1 \end{align*}$ , dass also $\begin{align*} S_{\tau} \end{align*}$ auch tatsächlich P-fast überall definiert ist.

20.01.2015, 22:11

löwe

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Okay, das verstehe ich. Aber wie zeigt man das am geschicktesten? Hab schon versucht, $\begin{eqnarray*} P[\tau =\infty]=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} E[\tau]<\infty \end{eqnarray*}$ zu zeigen, aber das hat beides nicht so gut geklappt.

21.01.2015, 19:18

löwe

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Wenn ich zeigen könnte, dass $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}S_n(\omega)=\infty \end{eqnarray*}$ für P-fast alle $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ gilt, würde die Behauptung auch folgen.

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