Determinante

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Floid Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante
Meine Frage:
Hallo,
es geht um folgende Aufgabe:

Für alle sei die Matrix



gegeben. Beweisen sie:




Meine Ideen:
Also der Beweis muss wohl offensichtlich mittels vollständiger Induktion gemacht werden. Allerdings weiß ich nicht, wie der Induktinosschritt aussehen könnte. Meine Idee war zu erst, da die Matrix schließlich einem Muster folgt, einen Weg zu finden, sie zu Gaußen - ähnlich wie man bie der Vandermonde ja auch die erste Zeile verschwinden lässt - so dass man am Ende eine Dreiecksmatrix hat bei der am besten noch alle Diagonaleinträg gleich 1 sind und nur der letzte Eintrag gleich n+1. Aber bis jetzt habe ich noch keinen Weg gefunden, daraus eine Dreiecksmatrix zu machen. Jemand eine Idee? Bringt es evtl. etwas, die Matrix erst als Produkt zweier anderer Matrizen darzustellen?

Danke schon mal, Gruß Floid
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RE: Determinante
Induktion ist richtig, es reicht die Entwicklung nach der letzten Spalte - die übrigens nicht so aussieht, wie du aufgeschrieben hast.
Floid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante
Danke URL das ganze sollte natürlich so ausschauen:



leider verstehe ich nicht ganz, was du mit der "Entwicklung nach der letzten Spalte" meinst.
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RE: Determinante
Nein, so sollte das auch nicht aussehen unglücklich
Sagt dir Laplace in dem Kontext etwas?
Floid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante
Sry, letzter versuch, jetzt muss stimmen. Ja Laplace sagt mir was danke, ich gehs nochmal an und meld mich notfalls nochmal smile

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Oder man addiert das -fache der ersten Zeile zur zweiten, dann das -fache der zweiten zur dritten, dann das -fache der dritten zur vierten und so weiter bis schließlich das -fache der -ten zur -ten Zeile. Dann erhält man eine obere Dreiecksmatrix. Das Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen ist

 
 
Floid Auf diesen Beitrag antworten »

Also zum Induktionsschritt: (Die n's unten sollen die Größe der Matrix signalisieren)

=

= + =

= - =

= q.e.d.

Allerdings weiß ich nicht, ob ich den letzten Schritt so machen kann. Denn in der Induktionsvorraussetzung ist ja nur gegeben, dass nicht aber
Oder kann ich dazu einfach im IA nehmen und dann in der IV schreiben
und
Floid Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
sau guter Tipp danke! Ich habe auch kurz so angefangen, aber gleich wieder aufgehört und nicht gesehen, dass da ja eine Regelmäßigkeit drin ist.
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