kleine Frage zur Def. vom Untergruppenkriterium

21.01.2015, 10:23	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
kleine Frage zur Def. vom Untergruppenkriterium Hallo, Ich habe eine kleine detail Frage. Hier wird davon gesprochen, dass wegen der Formulierung "Dann und nur dann" beide "Richtungen" gelten. Meine Frage ist nun, wäre es nicht 1:1 die gleiche Definition auch ohne dieses "dann und nur dann"? Ich meine, H ist eine Teilmenge von G und daher wird (ii) bereits impliziert bzw. der Umkehrschluss, also dass H eine Untergruppe von G ist. Oder irre ich mich? Untergruppenkriterium Sind (G, ) eine Gruppe und H eine Teilmenge von G, so ist H dann und nur dann eine Untergruppe von G, wenn gilt: (U1) H ist nicht die leere Menge. (U2) Für alle $\begin{eqnarray} x \in H \end{eqnarray}$ ist zugleich $\begin{eqnarray} x^{-1} \in H \end{eqnarray}$ . (U3) Aus $\begin{eqnarray} x, y \in H \end{eqnarray}$ folgt stets $\begin{eqnarray} (x * y) \in H \end{eqnarray}$ . Die Formulierung „dann und nur dann“ erfordert, dass wir zweierlei zeigen müssen: (i) Ist H eine Untergruppe, so gelten die im Untergruppen- kriterium geforderten Aussagen (U1), (U2) und (U3). (ii) Treffen umgekehrt diese drei Aussagen zu, so ist H eine Untergruppe von G, also (H, ) eine Gruppe.
21.01.2015, 11:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: kleine Frage zur Def. vom Untergruppenkriterium Ich verstehe nicht wirklich was du sagen willst. Als erstes ist das keine Definition, sondern ein Lemma. Die Definition von Untergruppe ist erst einmal nur, dass es eine Teilmenge ist, die zugleich eine Gruppe ist. Meinst du mit (ii) die Eigenschaft (U2)? Das ist keine Eigenschaft, die eine Teilmenge respektieren muss. Nimm $\begin{eqnarray} (\mathbb N, +) \subset (\mathbb Z, +) \end{eqnarray}$ . So ist es eine Teilmenge, aber U2 ist verletzt.

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