Anwendung Satz von Liouville

21.01.2015, 12:56	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung Satz von Liouville Hallo zusammen, ich möchte folgendes zeigen: Seien $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ holomorph auf $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Angenommen es gibt ein $\begin{eqnarray} M>0 \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \|f(z)\|\leq M\|g(z)\| \end{eqnarray}$ , für alle $\begin{eqnarray} z\in\mathbb C \end{eqnarray}$ . Dann gibt es $\begin{eqnarray} c \in\mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f=cg \end{eqnarray}$ . Ich definiere $\begin{eqnarray} h(z)=\frac{f(z)}{g(z)} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ist holomorph in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ bis auf Nullstellen von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . Kann man $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ in den Nullstellen von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ analytisch fortsetzen und wenn ja, warum? Dann könnte ich den Satz von Liouville anwenden und hätte alles gezeigt. Grüße
21.01.2015, 13:25	Complexi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn g eine Nullstelle hat, muss f auch eine haben. Kann man vllt aus den Reihenentwicklungen um diese Nullstelle etwas erkennen?
21.01.2015, 13:55	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, dank erst einmal. Vielleicht so: $\begin{eqnarray} f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(z)=\sum_{k=0}^{\infty}b_n(z-z_0)^k \end{eqnarray}$ Aus der Voraussetzung folgt, dass $\begin{eqnarray} a_0 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_0 = 0 \end{eqnarray}$ . Weiter gilt, wenn man die Nullstellen auschließt: $\begin{eqnarray} \frac{\|f(z)\|}{\|g(z)\|}\leq M \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\|\sum_{n=1}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\|}{\|\sum_{k=1}^{\infty}b_n(z-z_0)^k\|}\leq M \end{eqnarray}$ Ich kann nun L'Hospital im Komplexen auf den linken Ausdruck anwenden und müsste asymptotisch noch immer kleiner als $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ sein. Hätte $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ eine höhere Ordnung der Nullstellen, wäre der Ausdruck links nach anwenden unbeschränkt. Die Abschätzung der Voraussetzung wäre nicht für alle $\begin{eqnarray} z \in \mathbb C \end{eqnarray}$ erfüllt.
23.01.2015, 15:35	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es hierzu weitere Meinungen?
23.01.2015, 15:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe gerade leider auch nicht wie es geht. Aber: Als erstes kann man davon ausgehen, dass g keinen Häufungspunkt von Nullstellen besitzt. Zu deinem Ansatz: Man beweist den Satz von L'Hospital über den verallgemeinterten Mittelwertsatz. Beide Sätze gelten im komplexen nicht. Als nächstes: Falls f und g nicht holomorph (z.B. nur stetig sind), so folgt aus $\begin{eqnarray} \|f\| \leq M \|g\| \end{eqnarray}$ nicht, dass f/g überhaupt stetig an den Nullstellen von g sein muss. Vermutlich wird man argumentieren müssen, dass falls $\begin{eqnarray} g(z_0) = 0 \end{eqnarray}$ ein ebenfalls holomorphes h existiert, s.d. $\begin{eqnarray} g(z) = (z - z_0)^k h(z) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h(z_0) \neq 0 \end{eqnarray}$ . Das sieht man schön daran, dass g(z) nicht schneller als Polynome in der Nullstelle verschwinden darf, da sonst die Taylorentwicklung identisch 0 ist. Ok, sehe jetzt dass daraus auch einfach die Aussage folgt. Edit: Da die Taylorentwicklung nur lokal richtig ist, existiert das h auch nur lokal. Aber mehr braucht man auch nicht.

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