Summe, Produkt, Quotient, Komposition stetig diff.barer Funktionen ist stetig diff.bar

21.01.2015, 13:30

Widderchen

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Summe, Produkt, Quotient, Komposition stetig diff.barer Funktionen ist stetig diff.bar

Meine Frage:
Hallo,

sei U eine offene Teilmenge von IR^n. Zeige, dass für Funktionen
$\begin{eqnarray*} f , g : U -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ der Klasse $\begin{eqnarray*} C^{l} \end{eqnarray*}$ der l-fach stetig differenzierbaren Funktionen auch die Funktionen
$\begin{eqnarray*} f + g , f \cdot g , \frac{f}{g} \end{eqnarray*}$ für g ungl. 0 in $\begin{eqnarray*} C^{l} \end{eqnarray*}$ liegen.

Sei U eine Teilmenge von IR^n und V Teilmenge von IR^m , offene Mengen.
Zeige, dass für Funktionen $\begin{eqnarray*} f : U -> \mathbb R^{m} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} g : V -> \mathbb R^{k} \end{eqnarray*}$ auch die Komposition g°f in $\begin{eqnarray*} C^{l} \end{eqnarray*}$ liegt (vorausgesetzt, dass diese Komposition wohldefiniert ist).

Meine Ideen:
Wenn f und g doch l-fach stetig diff.bar sind, dann existieren doch die totalen Ableitungen, sprich die zugehörigen Jacobi-Matrizen der l-fachen partiellen Ableitungen der Funktionen f und g oder ist diese Aussage fehlerhaft? Da das totale Differential einer Funktion f durch ihre jacobi-Matrix festgelegt ist, kann ich doch genauso die Matrizen miteinander addieren, das Matrizenprodukt bilden.... , ich vermute aber dieser Ansatz ist falsch. Ich muss irgendwie den "Differentialquotienten" für höhere Ableitungen bestimmen und damit nachweisen, dass auch die Summe, das Produkt,... etc. wieder (zumindest) differenzierbare Funktionen sind. Im Grunde verläuft der Beweis doch analog zum eindimensionalen Fall, allerdings weiß ich nicht, wie ich das Problem angehen soll.

Viele Grüße
Widderchen

21.01.2015, 21:31

Widderchen

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Hallo,

also ich versuche, die Aussage zu beweisen: Seien f und g l-fach stetig differenzierbar. Das bedeutet doch, dass alle l-fachen partiellen Ableitungen der Funktionen f und g nach den Komponenten des Vektors $\begin{eqnarray*} x = (x_{1} , ... , x_{n}) \end{eqnarray*}$ stetig sind. Bildet man also die Summe dieser beiden stetigen Funktionen , so ist auch die Summe wieder stetig, also muss auch f + g stetig differenzierbar sein. (???)
Ist diese Argumentation korrekt, geschweige denn vollständig? Kann ich diese Argumentation auch beim Produkt von f und g sowie beim Quotienten der beiden Funktionen anwenden?? Und wie gehe ich bei der Verknüpfung der beiden Funktionen vor?

Ich komme hier nicht weiter.

Viele Grüße
Widderchen

Kann mir niemand behilflich sein oder ist dieses Problem schon fast zu offensichtlich?

22.01.2015, 20:33

Widderchen

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Hallo,

ich bin zu keinem vernünftigen Resultat gekommen. Ich weiß nicht, was ich tun soll.

22.01.2015, 23:27

DrHousedorf

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Hi,

mal ein Versuch für das Produkt: Da f,g in x stetig differenzierbar sind, gilt in jedem Punkt
$\begin{eqnarray*} f(x+\zeta) = f(x) + A(x)\cdot \zeta + O_f(\zeta) \end{eqnarray*}$ und für g $\begin{eqnarray*} g(x+\zeta) = g(x) + B(x)\cdot \zeta + O_g(\zeta) \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} \lim_{\zeta\rightarrow 0}\frac{O(\zeta)}{||\zeta||}=0 \end{eqnarray*}$ mit stetigen Matrizenfunktionen A(x), B(x).

Also gilt für das Produkt

$\begin{eqnarray*} (f\cdot g)(x+\zeta) = (f(x)+A(x)\zeta+O_f(\zeta))\cdot (g(x)+B(x)\zeta+O_g(\zeta)) \\ = g(x)f(x)+A(x)\zeta \cdot g(x)+ f(x)\cdot B(x)\zeta + A(x)\zeta \cdot O_g(\zeta) + O_f(\zeta)\cdot B(x)\zeta + A(x)\zeta \cdot B(x)\zeta + f(x)\cdot O_g(\zeta) + g(x)\cdot O_f(\zeta)+O_f(\zeta)\cdot O_g(\zeta) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung sollte dann der in $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ lineare Anteil sein, der Rest wird in der "Restfunktion" $\begin{eqnarray*} \Omega(\zeta) \end{eqnarray*}$ zusammengefasst.

$\begin{eqnarray*} =g(x)f(x)+(f(x)B(x)+g(x)A(x))\zeta + \Omega(\zeta) \end{eqnarray*}$

Dass dieser in $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ lineare Term offenbar also als Funktion von x stetig ist sollte klar sein.

Es bleibt dann noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{\zeta\rightarrow 0}\frac{\Omega(\zeta)}{||\zeta||}=0 \end{eqnarray*}$ , womit der lineare Term mit der Ableitung indentifiziert werden kann, und dass die so gefundene Ableitung l-1 mal stetig differenzierbar ist,

23.01.2015, 11:08

Widderchen

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Hallo,

zunächst erst einmal vielen Dank für deinen Einfall!
Ich habe diese Aussage bewiesen, indem ich die allgemeine Produktregel der Differentialrechung angewandt habe. Übrigens bin ich mir nicht sicher, ob nun mit stetiger Differenzierbarkeit entweder l-fache totale Diff.barkeit oder stetige partielle Differenzierbarkeit gemeint ist.
Du hast den Fall der totalen Diff.barkeit nachgewiesen. Im tutorium habe ich erfahren, dass mein genannter Ansatz wohl zur Lösung führen soll und dass aus Analysis 1 bekant sei, dass die Summe zweier stetig diff.barer Funktionen bzgl. eines Argumentes wieder stetig differenzierbar ist. Dasselbe würde dann auch für das Produkt gelten, etc.

Nun muss ich nur noch wissen, ob dein oder der Ansatz, den ich selbst notiert habe, richtig ist.
Aber da du die totale diff.barkeit von f*g nachgewiesen hast, ist dies ein stärkeres diff.barkeits kriterium. Damit muss wohl f*g in dieser Menge liegen.

Der von dir genannte zusammengefasste Term ist in x stetig, da hier das Produkt und die Summe stetiger Funktionen und Abbildungen zu erkennen ist. Der eingeklammerte Term ist dann die totale Ableitung von f*g.

naja in dem Omega Term sind einige von x abhängige Abbildungen enthalten. diese sind dann für die Limesbetrachtung $\begin{eqnarray*} \zeta \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ wohl nicht entscheidend, oder? Aber ist das nicht klar, dass OMEGA eine Ordnungsfunktion ist, da sie die Produktsumme von Ordnungsfunktionen ist, ich hoffe, das stimmt soweit.

Viele Grüße
Widderchen

23.01.2015, 12:24

DrHousedorf

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Anscheinend gilt: Stetig total differenzierbar ist äquivalent zu stetig partiell differenzierbar. Deshalb wird kurz auch von "stetig differenzierbar" gesprochen, weil es dann egal ist, was gemeint ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Momentan denke ich noch, dass beide Ansätze richtig sind. smile

smile

In dem $\begin{eqnarray*} \Omega(\zeta) \end{eqnarray*}$ kommt ja z.B. noch der Term $\begin{eqnarray*} A\zeta\cdot B\zeta \end{eqnarray*}$ vor. Diesen müsste man wohl noch geeignet abschätzen, z.B. über Matrixnormen von A und B.

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23.01.2015, 14:09

Widderchen

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Hallo,

ja stimmt, du hast Recht. Sind die partiellen Ableitungen einer mehrdimensionalen Funktion stetig, dann ist diese Abbildung auch total differenzierbar. Wenn beide Ansätze richtig sind, dann muss ich eigentlich nur noch die l-fache stetige diff.barkeit von der komposition f ° g nachweisen. Vermutlich muss ich hier die Kettenregel anwenden???

Hmm, wie schätze ich nun $\begin{eqnarray*} A \cdot \zeta \cdot B \zeta \end{eqnarray*}$ ab??

Die einzige Matrixnorm, die ich in der Vorlesung kennengelernt hatte, war die Operatornorm

$\begin{eqnarray*} sup_{x \neq 0} \frac{//Ax//}{//x//} \end{eqnarray*}$

Folgt daraus nicht die Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} // A \cdot \zeta// \cdot //B \zeta// < //\zeta// \cdot //\zeta// \end{eqnarray*}$ ???

Ich bin mir nicht sicher. Muss ich vielleicht die Submultiplikativität dieser Matrixnorm verwenden??

Viele Grüße
Widderchen

23.01.2015, 21:05

Widderchen

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Hallo

Kann mir irgendjemand helfen?? Gibt es vielleicht eine alternative Abschätzung für

$\begin{eqnarray*} lim_{h \rightarrow 0} \frac{A(x) h B(x) h}{//h//} \end{eqnarray*}$ ???

Mir fällt dazu leider nichts ein. Wie kann ich daraus eine Nullfolge machen? Das Skalarprodukt der h-Vektoren kann ich doch nicht bilden, da diese Multiplikation nicht assoziativ ist.

Zum Beweis der stetigen Diff.barkeit von f/g sowie f°g bin ich auch nicht weiter gekommen. unglücklich

unglücklich

Viele Grüße
Widderchen

23.01.2015, 23:27

DrHousedorf

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Du kannst es doch bei den ersten drei auch einfach über die partiellen Ableitungen zeigen. Bei f(g(x)) betrachte vielleicht f(g(x+h))=f(g(x)+B(x)h+O(h))=f(g(x))+... . Mit geeigneten Matrixnormen gilt |Ax|<=|A||x|. Wiki hilft gern weiter. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.01.2015, 13:07

Widderchen

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Hallo,

vielen Dank soweit für die Hilfe!! smile

smile

Ja, ich kenne diese Eigenschaft der Matrizennorm, aber ich bin mir nicht sicher gewesen, ob ich diese verwenden darf, da wir in der Vorlesung die Operatornorm nur sehr kurz behandelt hatten!

Ich muss nur noch nachweisen, dass die Komposition l-fach stetig diff.bar ist. Ich bin auch soweit gekommen wie du:

$\begin{eqnarray*} (g°f)(x+h) = g(f(x+h)) = g(f(x) + A(x)h + o_{f}(h)) = g(f(x)) + g(A(x)h) + g(o_{f}(h)) = g(f(x)) + .... \end{eqnarray*}$

Soweit ist es nachvollziehbar. Ist g linear? Wenn dem so ist, dann darf ich die g-Linearität ausnutzen.
Wie sieht eigentlich dann die totale Ableitung aus? Irgendwie muss da eine Analogie zur Kettenregel bestehen. Die totale Ableitung muss ja ein h-linearer Term sein, also so etwas wie
$\begin{eqnarray*} g(A(x))h \end{eqnarray*}$ ????
dann muss g(o_{f}(h)) [/latex] auch wieder eine Ordnungsfunktion sein, oder?? Aber wie zeige ich das?

Viele Grüße
Widderchen

24.01.2015, 13:29

DrHousedorf

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Hi,

warum in deiner ersten Gleichung dein drittes Gleichheitszeichen gilt, ist mir nicht klar. g muss ja nicht linear sein, es ist nur differenzierbar, also lokal fast linear Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Ich würde an dieser Stelle $\begin{eqnarray*} h'=(A(x)h+o_f(h)) \end{eqnarray*}$ definieren und die Differenzierbarkeit von g ausnutzen.

Hier tritt dann wieder ein Term auf, von dem man zeigen muss, dass er eine Ordnungsfunktion ist. Die Abschätzung müsste aber auch funktionieren, wenn du |Ax| mit Anzahl der Vektorkomponenten von x mal Maximum des Betrages der Matrizeneinträge von A mal |x| abschätzt, also $\begin{eqnarray*} |Ax| \leq n\cdot \max_{ij} |A_{ij}||x| \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ . Im Zweifelsfall bitte nachrechnen!

24.01.2015, 14:19

Widderchen

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Hallo,

du hattest in deinem letzten Post irgendwie angedeutet, dass g linear ist, also habe ich diesen Gedanken einfach fortgesetzt! Big Laugh

Big Laugh

Was bedeutet h´ ?? Na gut, dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} (g°f)(x+h) = ... = g(f(x) + h^{'}) = g(f(x)) + B(f(x)) h^{'} + o_{g}(h^{'})<br /> <br /> = g(f(x)) + B(x)A(x)h + B(x) o_f(h) + o_{g}(A(x)h + o_{f}(h)) \end{eqnarray*}$

Hier habe ich aber die Linearität von B benutzt oder ist B als Matrix auch nicht linear?? Oder hätte ich h´so stehen lassen sollen? Die totale Ableitung der Komposition müsste dann das Produkt bzw. die Komposition der linearen Abildungen B und A sein. Das klingt für mich plausibel.

Die Abschätzung hilft mir doch nicht weiter, da A(x)*h doch ein Argument der Ordnungsfunktion bzgl. g ist (vorausgestzt die obige Umformung ist korrekt!) . Das verwirrt mich.

Widderchen

24.01.2015, 14:40

DrHousedorf

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Klar, die Matrizenabbildung x->Ax ist linear. Die lineare Algebra weiß das sehr gut. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nur g halt nicht (Ich wollte auf die Differenzierbarkeit heraus).

Für den letzten Term kann man wie folgt argumentieren: Da aus h->0 h'->0 folgt und somit auch $\begin{eqnarray*} \frac{o_g(h')}{||h'||} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , folgt auch $\begin{eqnarray*} \frac{o_g(h')}{||h||}=\frac{o_g(h')}{||h'||}\cdot \frac{||h'||}{||h||} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ .
Warum der letzte Grenzwert gilt, kannst du dir ja mal überlegen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.01.2015, 14:59

Widderchen

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Ja, ich kann für den letzten Grenzwert die Dreiecksungleichung bzgl. Vektornorm auf h´ anwenden, dann erneut die Eigenschaft der Matrixnorm (also die zuvor genannte Ungleichung) verwenden. Dann erhalte ich Nullfolgen, ich denke das wars, vielen Dank , Dr. Housedorf. smile

smile

Viele Grüße
Widderchen

24.01.2015, 15:18

DrHousedorf

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Bitte.

smile

Prüf die Ungleichung der Matrizen bitte vielleicht noch einmal nach, es kann sein, dass da n² (oder etwas anderes) stehen muss.

Wink

Wink

24.01.2015, 17:27

GuntherGeier

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Zitat:

Original von Widderchen
$\begin{eqnarray*} (g°f)(x+h) = ... = g(f(x) + h^{'}) = g(f(x)) + B(f(x)) h^{'} + o_{g}(h^{'})<br /> <br /> = g(f(x)) + B(x)A(x)h + B(x) o_f(h) + o_{g}(A(x)h + o_{f}(h)) \end{eqnarray*}$

Müsste in der zweiten Zeile nicht auch $\begin{eqnarray*} B(f(x)) \end{eqnarray*}$ stehen? verwirrt

verwirrt

Die Kettenregel (also der Speztalfall k=m=1) ist ja auch $\begin{eqnarray*} (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} f'(x)g'(x) \end{eqnarray*}$ . geschockt

geschockt

24.01.2015, 19:21

Widderchen

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Ja, du hast Recht,

ich musste das Argument von x durch f(x) ersetzen, auch bei B. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit, GuntherGeier.

Ich hatte mich auch schon gefragt, warum die totale Ableitung von g°f so merkwürdig aussieht. Big Laugh

Big Laugh

Viele Grüße
Widderchen

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