e-Funktion einzige Funktion mit f(x)=f'(x) beweisen

21.01.2015, 15:57

Shinobi.Master

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e-Funktion einzige Funktion mit f(x)=f'(x) beweisen

Hallo Mathemeister,

ich benötige wieder eure super Unterstützung bitte für diese Aufgabe:

-------------------------

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a) Seien $\begin{eqnarray*} f,g:[a,b] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen ( $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb R, a < b \end{eqnarray*}$ ), die differenzierbar auf (a,b) sind,

mit $\begin{eqnarray*} f(a) \geq g(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x) \geq g'(x) \forall x \in (a,b) \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt $\begin{eqnarray*} f(x) \geq g(x) \forall x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ .

b) Zeigen Sie, dass die Exponentialfunktion die einzige differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} y:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, mit $\begin{eqnarray*} y(x) = y'(x) \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(0) = 1 \end{eqnarray*}$

-------------------------

Zu a) fällt mir nur der Mittelwertsatz als brauchbares Mittel ein. Aber wie benutze ich den für diese Aufgabe? Ich benötige doch sicherlich wieder ein Epsilon und ein Delta die in der Umgebung $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ liegen oder?

Zu b) weiß ich zwar das wirklich nur bei der e-Funktion die Funktion gleich der Ableitung der Funktion ist. Aber wie zeige ich sowas.. Ich meine ich kann ja nicht alle anderen Methoden aufzeigen, dass es bei denen nicht funktioniert oder?

21.01.2015, 16:07

IfindU

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RE: e-Funktion einzige Funktion mit f(x)=f'(x) beweisen
Mittelwertsatz ist eine gute Idee. Nimm Widerspruch an, d.h. es gibt ein x, s.d. die Ungleichung nicht gilt.

Für b) sei f eine Lösung der DGL. Zeige dann, dass $\begin{eqnarray*} g(x) = f(x)e^{-x} \end{eqnarray*}$ schon konstant ist.

21.01.2015, 16:12

HAL 9000

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Als Ergänzung noch eine "technische" Bemerkung zu a): Betrachte die Differenzfunktion $\begin{align*} h(x):=f(x)-g(x) \end{align*}$ , auf die passt dann der MWS ganz gut.

21.01.2015, 17:22

Shinobi.Master

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a)

$\begin{eqnarray*} h(x) = f(x) - g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h'(x) = f'(x) - g'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} - \frac{g(b)-g(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

Angenommen $\begin{eqnarray*} \exists x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} f(x) < g(x) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt: h(x) ist negativ? Wäre doch quatsch und hilft mir nicht weiter...

21.01.2015, 18:46

Shinobi.Master

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Ich komm nicht drauf traurig

traurig

Das hier hilft mir doch auch nicht weiter oder?

Es gibt ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in (a,b) \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)\,(g(b)-g(a)) = g'(x_0)\,(f(b)-f(a)) \end{eqnarray*}$

21.01.2015, 19:30

IfindU

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Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} h(a) \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn wir annehmen, dass ein x existiert mit $\begin{eqnarray*} f(x) < g(x) \iff h(x) < 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} { h(x) - h(a) } < 0 \end{eqnarray*}$ , und damit $\begin{eqnarray*} \frac { h(x) - h(a) }{x - a} < 0 \end{eqnarray*}$ . Und aus dem Mittelwertsatz folgt jetzt, ...

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21.01.2015, 20:10

Shinobi.Master

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... dass $\begin{eqnarray*} h'(x) = f'(x) - \frac { f(b) - f(a) }{b - a} < 0 \end{eqnarray*}$ ist?

Das wir nicht aneinander vorbeireden: Es ist doch der Mittelwersatz der Differentialrechnung von nöten oder? Also:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

21.01.2015, 20:18

IfindU

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Das ist nicht die Ableitung von h. Und was ist x in deinem Beitrag? Und warum taucht wieder b auf?

Aber ja, ich meine diesen Mittelwertsatz.

21.01.2015, 20:25

Shinobi.Master

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Dann vielleicht

$\begin{eqnarray*} h(x-a) = \frac { h(x) - h(a) }{x - a} < 0<br /> <br /> \Rightarrow h'(x-a) = h(x-a) \frac { h(x) - h(a) }{x - a} < 0 \end{eqnarray*}$

21.01.2015, 21:19

IfindU

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Zitat:

Original von IfindU
Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} h(a) \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn wir annehmen, dass ein x existiert mit $\begin{eqnarray*} f(x) < g(x) \iff h(x) < 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} { h(x) - h(a) } < 0 \end{eqnarray*}$ , und damit $\begin{eqnarray*} \frac { h(x) - h(a) }{x - a} < 0 \end{eqnarray*}$ . Und aus dem Mittelwertsatz folgt jetzt, ...

..., dass ein $\begin{eqnarray*} \xi \in (a,x) \end{eqnarray*}$ existiert s.d. $\begin{eqnarray*} 0 > h'(\xi) = f'(\xi) - g'(\xi) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} g'(\xi) > f'(\xi) \end{eqnarray*}$ .

Man die weitere Lösung, weil ich wirklich nicht weiß was du tust.

21.01.2015, 21:36

Shinobi.Master

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Also doch mit Epsilon Umgebung...

Und ist das denn schon der Beweis oder Folgt noch was?

Also außer, dass es ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} f(a) \geq g(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x) \geq g'(x) \forall x \in (a,b) \end{eqnarray*}$ ist und damit gelten $\begin{eqnarray*} f(x) \geq g(x) \forall x \in [a,b] \end{eqnarray*}$ muss.

21.01.2015, 21:37

IfindU

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Das war der Beweis...und wo siehst du da eine Epsilonumgebung?

21.01.2015, 21:40

Shinobi.Master

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Na heißt nicht Epsilon, dass es in der Umgebung von ... ist?

21.01.2015, 21:45

IfindU

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Eine (offene) Umgebung eines Elements x bezeichnet üblicher eine offene Menge $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ . Den Begriff Epsilonumgebung benutzt man, wenn man eine sehr kleine Umgebung nimmt. Vlt sogar spezifischer wenn ein Epsilon vorgegeben ist, dann eine der Größe.

Hier würde man weder Epsilon noch Umgebung verwenden.

21.01.2015, 21:49

Shinobi.Master

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RE: e-Funktion einzige Funktion mit f(x)=f'(x) beweisen
Okay, Danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

zu b)

Zitat:

Original von IfindU
sei f eine Lösung der DGL. Zeige dann, dass $\begin{eqnarray*} g(x) = f(x)e^{-x} \end{eqnarray*}$ schon konstant ist

Also ganz klar die erste Ableitung von $\begin{eqnarray*} g'(x) = f'(x)e^{-x}+f(x)(-e^{-x}) = e^{-x}(f'(x)-f(x)) \end{eqnarray*}$

Man sieht das die e-Funktion gleich bleibt. Lediglich die f Funktion ändert sich.

Aber das ist doch kein Beweis was ich gerade gezeigt habe?

21.01.2015, 21:51

IfindU

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RE: e-Funktion einzige Funktion mit f(x)=f'(x) beweisen
f ist keine allgemeine Funktion, es ist eine Lösung deiner Differentialgleichung. D.h. du kannst den Ausdruck weiter vereinfachen.

21.01.2015, 21:53

Shinobi.Master

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Noch weiter vereinfachen?

Brauche ich da eine homogene und partielle Lösung und muss ich das dann über Variation der Konstanten machen?

21.01.2015, 21:56

IfindU

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Lies dir bitte die Sachen noch einmal gründlich durch. Was f ist, was sich daraus für g' ergibt, und dann g für.

Dein Post kam 2 Minuten nach meinem. In der Zeit musstest du sehen, dass ich was geschrieben habe, es durchlesen und dann noch antworten. Viel Zeit kannst du dir fürs Nachdenken also nicht genommen haben.

21.01.2015, 22:04

Shinobi.Master

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Ich soll ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g(x) = g'(x) \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(0) = 1 \end{eqnarray*}$ nur für die e-Funktion zutrifft.

Okay also wenn f eine Lösung der DGL ist dann geht es vielleicht so:

$\begin{eqnarray*} g(x) = f(x)e^{-x} <br /> <br /> g'(x) = -f(x)e^{-x}<br /> <br /> g''(x) = f(x)e^{-x} \end{eqnarray*}$

Anhand dessen ist allerdings zu erkennen, dass $\begin{eqnarray*} g(x) = g'(x) \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht zutrifft. Also läuft hier wieder was falsch unglücklich

unglücklich

21.01.2015, 22:09

IfindU

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Ich habe nie behauptet g löst die Differentialgleichung. Ich habe gesagt g ist konstant 1 ist, FALLS f die Differentialgleichung löst. Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} 1 = f(x) e^{-x} \end{eqnarray*}$ und dann die Aussage.

21.01.2015, 22:13

Shinobi.Master

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Also jetzt lediglich die e-Funktion auf die andere Seite bringen?

$\begin{eqnarray*} 1 = f(x) e^{-x} = \frac {f(x)}{e^x}<br /> <br /> \Rightarrow e^x = f(x) \end{eqnarray*}$ und das war es dann?

21.01.2015, 22:14

IfindU

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Richtig. Aber erst musst du zeigen, dass g konstant 1 ist.

21.01.2015, 22:22

Shinobi.Master

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Also das $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb R : g(x)=1 \end{eqnarray*}$ ?

Oder nur $\begin{eqnarray*} g = 1 \end{eqnarray*}$ ?

Denn g(x) ist ja schon so definiert $\begin{eqnarray*} g(x) = f(x)e^{-x} \end{eqnarray*}$ also kann doch nicht auch gleichzeit $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb R : g(x)=1 \end{eqnarray*}$ sondern nur explizit für x = 0 oder?

21.01.2015, 22:23

IfindU

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Man definiert sich g als das Produkt. Dann kann man zeigen, dass die Ableitung von g verschwindet, also konstant ist. Da g(0) = 1 ist, folgt also $\begin{eqnarray*} g(x) = f(x)e^{-x} = 1 \end{eqnarray*}$ für alle x!

21.01.2015, 22:36

Shinobi.Master

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Wenn man sich g als Produkt definiert, wie ist das gemeint. Als Produkt zweier Konstanten $\begin{eqnarray*} g(x) = k \cdot k = k^2 \end{eqnarray*}$ oder als Produkt einer Konstanten und Variablen erster Ordnung $\begin{eqnarray*} g(x) = k \cdot x \end{eqnarray*}$ oder als Produkt zweier Variablen $\begin{eqnarray*} g(x) = x \cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ zum Bsp.?

Die erste Ableitung von g würde nur bei den Fall mit dem Produkt einer Konstanten und Variablen erster Ordnung konstant werden.

Aber wenn $\begin{eqnarray*} g(0) = 1 \end{eqnarray*}$ ist müsste dann nicht $\begin{eqnarray*} g(0) = f(0)e^0 = 0 \end{eqnarray*}$ sein, weil $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ ist?

21.01.2015, 23:00

IfindU

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Es ist f(0) = 1, weil es die Differentialgleichung loest. Mit f' = f ergibt sich sofort
$\begin{eqnarray*} g'(x) = e^{-x} ( f'(x) - f(x) ) = e^{-x} ( f(x) - f(x) ) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Und mit f(0) = 1 ist $\begin{eqnarray*} g(0) = f(0) e^0 = 1 \end{eqnarray*}$ also ist g konstant 1.

21.01.2015, 23:13

Shinobi.Master

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Also um es noch einmal zusammenzufassen:

Sei f eine Lösung der DGL $\begin{eqnarray*} g(x) = f(x)e^{-x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = 1 \end{eqnarray*}$ konstant.

Wegen $\begin{eqnarray*} f(x) = f'(x) \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} g'(x) = f'(x)e^{-x} + f(x)(-e^{-x}) = e^{-x}(f'(x)-f(x)) = e^{-x}(f(x)-f(x)) = 0 \end{eqnarray*}$

Weiterhin ist $\begin{eqnarray*} g(0) = f(0) e^0 = 1 \end{eqnarray*}$ und damit konstant.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1 = f(x) e^{-x} = \frac {f(x)}{e^x}<br /> <br /> \Rightarrow e^x = f(x) \end{eqnarray*}$

Wäre das so in Ordnung oder fehlt was?

21.01.2015, 23:15

IfindU

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Genau.

21.01.2015, 23:19

Shinobi.Master

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Hach war das wieder ne schwere Geburt^^

Vielen Dank! Freude

Freude

Hättest du noch Lust mir bei der anderen Aufgabe zu helfen? Nicht unbedingt heute mehr, aber morgen?

Lipschitz-Stetigkeit beweisen

21.01.2015, 23:26

IfindU

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Ich könnte, aber ich denke du wärst mit einem 'geduldigerem' Helfer besser aufgehoben.

21.01.2015, 23:44

Shinobi.Master

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Ich toleriere deine Meinung Augenzwinkern

Augenzwinkern

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