Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen

21.01.2015, 17:22

MixMadde4

Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen

Meine Frage:
Guten Tag,

wir haben in einer Woche eine Abgabe in der höheren Mathematik, die zu bearbeitende Aufgabe erhielten wir heute. Es handelt sich bei dem Thema um Fourier-Reihen.
Zur Aufgabenstellung:

"Gegeben [sei] die [6-Pi-Periodische Funktion] $\begin{eqnarray*} f_{1}: \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ [...]
mit $\begin{eqnarray*} f_{1}(x) := 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in [3\pi,0) \end{eqnarray*}$
bzw. $\begin{eqnarray*} f_{1}(x) := sin(\frac{x}{3}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in [0,3\pi) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f_{1}(x + 6\pi k)=f_{1}(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R, k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$
(a) Skizzieren Sie den Graphen auf dem Intervall [-3Pi,3Pi] und bestimmen sie die reellen Fourierreihen von [ $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ ]. [...]"

Und hier habe ich ein Problem beim bestimmen der Fourierreihe, ich bin mir nämlich nicht sicher, wie ich mit dieser Funktion umgehen soll, die für verschiedene Intervalle der Periode unterschiedlich definiert ist.

Meine Ideen:
Das Skizzieren der Funktion hat keine Probleme bereitet. Links der Ordinate ist das Schaubild das der konstanten Funktion f(x)=0, die Funktion ist stetig, da der links- und rechtsseitige Grenzwert bei x=0 übereinstimmmen. Rechts der Ordinate zeigt das Schaubild das der Sinusfunktion um den Faktor 3 gestreckt. So weit, so einfach.

Zur Ermittlung der Fourierreihe:
Auch wenn ich der Herangehensweise keine großen Erfolgsschancen beigemessen habe, bin ich spaßeshalber einmal so vorgegangen wie bei den anderen Funktionen die ich bearbeitet habe und versuchte, die Fourierkoeffizienten zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} a_{0}= \frac{2}{6\pi} \int_{-3\pi}^{3\pi} \! f_{1}(x) \, dx = \frac{1}{3\pi}\int_{-3\pi}^{0} \! f_{1}(x) \, dx + \frac{1}{3\pi}\int_{0}^{3\pi} \! f_{1}(x) \, dx = \frac{1}{3\pi}\int_{0}^{3\pi} \! f_{1}(x) \, dx \end{eqnarray*}$
da das Integral von -3Pi bis 0 (über die konstante Funktion 0) null ist.
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3\pi}\int_{0}^{3\pi} \! sin(\frac{x}{3}) \, dx = -\frac{1}{\pi}(cos(\frac{3\pi}{3})-cos(0)) = \frac{2}{\pi} \end{eqnarray*}$
und hier ist wohl schon ein Fehler, denn ich sehe nicht wie dieser Koeffizient in der Fourierreihe Platz hätte. Nun gut, nach denselben Methoden gehe ich weiter vor und erhalte die Fourierreihe:
$\begin{eqnarray*} f_{1}(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum\limits_{j=1}^\infty (a_{j} \cos(jx) + b_{j} \sin(jx)) = \frac{1}{\pi} + \sum\limits_{j=1}^\infty \frac{2}{\pi-9\pi(2j)²}\cos(2jx) \end{eqnarray*}$
Und das ist offensichtlich falsch, aber die einizige andere Möglichkeit, die mir einfiele, wäre die, dass ich für beide Intervalle die Fourierreihen separat berechne und anschließend für diese dasselbe machen wie in der Aufgabenstellung - und zwar die Definitionsintervalle der Reihen einschränken.
Bedanke mich schon jetzt!

21.01.2015, 18:02

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen
Das a0 ist fast korrekt, allerdings läuft das Integral für die Berechnung von -3pi bis +3pi, eben über die gesamte Periode.

Die Reihe selber sieht in der Tat merkwürdig aus. Wie hast Du da gerechnet?

Viele Grüße
Steffen

21.01.2015, 23:01

MixMadde5

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RE: Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen
Ich verstehe nicht ganz. Integriert habe ich ja über die gesamte Periode, also von -3Pi bis 3Pi, das Ergebnis dieses Integrals sollte doch aber dasselbe sein wie wenn ich nur über die zweite Hälfte der Periode integriere? Schließlich ist das Integral von -3Pi bis 0 über der konstanten Funktion 0 ja eben - gleich null. Wo liegt mein Fehler genau?

Die Ermittlung der Reihe:

$\begin{eqnarray*} a_{j} = \frac{2}{6\pi} \int_{-3\pi}^{3\pi} \! f_{1}(x)\cos(jx) \, dx = \frac{2}{6\pi} \int_{-3\pi}^{0} \! f_{1}(x)\cos(jx) \, dx + \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \! f_{1}(x)\cos(jx) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \! f_{1}(x)\cos(jx) \, dx = \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \sin(\frac{x}{3} ) \cos(jx) \, dx \end{eqnarray*}$

hier wird folgendes Additionstheorem verwendet:

$\begin{eqnarray*} \sin(x)\cos(y)=\frac{1}{2} (\sin(x-y) + \sin(x+y)) \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \sin(\frac{x}{3} ) \cos(jx) \, dx = \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \frac{1}{2} (\sin(x(\frac{1}{3}-j)) + \sin(x(\frac{1}{3}+j))) \, dx = \frac{1}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} (\sin(x(\frac{1}{3}-j)) + \sin(x(\frac{1}{3}+j))) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6\pi} ( -\frac{1}{\frac{1}{3}-j} \cos(\pi-3\pi*j)) - \frac{1}{\frac{1}{3}+j} \cos(x(\pi+3\pi*j)) - (-\frac{1}{\frac{1}{3}-j} \cos(0) - \frac{1}{\frac{1}{3}+j} \cos(0))) \end{eqnarray*}$

und das ist eben

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6\pi} ( -\frac{1}{\frac{1}{3}-j} - \frac{1}{\frac{1}{3}+j}- (-\frac{1}{\frac{1}{3}-j} - \frac{1}{\frac{1}{3}+j})) = 0 \end{eqnarray*}$

für ungerade j bzw.

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6\pi} ( \frac{1}{\frac{1}{3}-j} + \frac{1}{\frac{1}{3}+j}- (-\frac{1}{\frac{1}{3}-j} - \frac{1}{\frac{1}{3}+j})) = \frac{1}{6\pi}* \frac{\frac{4}{3} }{\frac{1}{9}-j²} = \frac{1}{6\pi}* \frac{4}{\frac{1}{3}-3j²} =\frac{4}{2\pi-18j²\pi} =\frac{2}{\pi-9j²\pi} \end{eqnarray*}$

für gerade j, also für

$\begin{eqnarray*} j=2k, k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$

und so kam ich schließlich auf

$\begin{eqnarray*} f_{1}(x)=\frac{a_{0}}{2} + \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{\pi-9(2k)²\pi} \cos(2kx) =\frac{a_{0}}{2} + \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{\pi-9*4k²\pi} \cos(2kx) =\frac{a_{0}}{2} + \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{\pi-36k²\pi} \cos(2kx) \end{eqnarray*}$

Die Fourierkoeffizienten für die Polynome der Sinusfunktionen fallen bei mir restlos weg.
Aber wo liegt mein Fehler? Bzw. wie gehe ich richtig vor?

22.01.2015, 09:10

klarsoweit

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RE: Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen

Zitat:

Original von MixMadde5
Die Fourierkoeffizienten für die Polynome der Sinusfunktionen fallen bei mir restlos weg.

Wieso dieses?

22.01.2015, 10:33

MixMadde6

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RE: Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen
Naja, bei der Berechnung der Koeffizienten bin ich wie folgt vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} b_{j} = \frac{2}{6\pi} \int_{-3\pi}^{3\pi} \! f_{1}(x)\sin(jx) \, dx = \frac{2}{6\pi} \int_{-3\pi}^{0} \! f_{1}(x)\sin(jx) \, dx + \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \! f_{1}(x)\sin(jx) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \! f_{1}(x)\sin(jx) \, dx = \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \sin(\frac{x}{3} ) \sin(jx) \, dx \end{eqnarray*}$

hier wird folgendes Additionstheorem verwendet:

$\begin{eqnarray*} \sin(x)\sin(y)=\frac{1}{2} (\cos(x-y) - \cos(x+y)) \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \sin(\frac{x}{3} ) \sin(jx) \, dx = \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \frac{1}{2} (\cos(x(\frac{1}{3}-j)) - \cos(x(\frac{1}{3}+j))) \, dx = \frac{1}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} (\cos(x(\frac{1}{3}-j)) - \cos(x(\frac{1}{3}+j))) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6\pi} ( \frac{1}{\frac{1}{3}-j} \sin(\pi-3\pi*j) - \frac{1}{\frac{1}{3}+j} \sin(\pi+3\pi*j) - (\frac{1}{\frac{1}{3}-j} \sin(0) - \frac{1}{\frac{1}{3}+j} \sin(0)))=0 \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} j\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , da der Sinus von jedem ganzzahligen vielfachen von Pi eben 0 ergibt. Aber die Reihe muss ja verkehrt sein! Und was ist denn der Fehler bei dem $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ ?

22.01.2015, 10:52

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen

Zitat:

Original von MixMadde5
Schließlich ist das Integral von -3Pi bis 0 über der konstanten Funktion 0 ja eben - gleich null.

Ja, aber für die Ermittlung von a0, also dem Gleichanteil oder auch der durchschnittlichen Höhe des Signals ist dies von Bedeutung. Du rechnest dazu ja die Fläche des Signals aus, was Du korrekt getan hast. Um die Durchschnittshöhe zu berechnen, musst Du nun aber eben durch 6pi, also die gesamte Periode dividieren.

Zitat:

Original von MixMadde5
$\begin{eqnarray*} a_{j} = \frac{2}{6\pi} \int_{-3\pi}^{3\pi} \! f_{1}(x)\cos(jx) \, dx \end{eqnarray*}$

Nein, mit cosjx darfst Du nur bei Periode 2pi rechnen. Hier ist aber T=6pi, damit heißt es richtig

$\begin{eqnarray*} a_{j} = \frac{2}{6\pi} \int_{-3\pi}^{3\pi} \! f_{1}(x)\cos \left( \frac {2 \pi jx}{6 \pi} \right) \, dx \end{eqnarray*}$

Das gilt natürlich auch für die Sinusreihe. Und, wie klarsoweit richtig angemerkt hat, entsteht hier zwar nicht viel, aber doch eine einzige entscheidene Komponente für j=1. Der Rest ist dann tatsächlich Null, wie auch die ungeraden Cosinuskomponenten.

Wenn keine einzige Sinuskomponente dabeiwäre, entstünde eine gerade Funktion, was hier aber nicht der Fall ist.

Viele Grüße
Steffen

22.01.2015, 11:11

klarsoweit

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RE: Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von MixMadde5
Schließlich ist das Integral von -3Pi bis 0 über der konstanten Funktion 0 ja eben - gleich null.

Hm, wenn ich das richtig sehe, hat das aber MixMadde auch getan. verwirrt

22.01.2015, 11:12

MixMadde7

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RE: Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen
Aaaah, ich verstehe. Werde es nun weiterprobieren.

Doch noch einmal zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a_{0}= \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } \! f_{1}(x) \, dx \end{eqnarray*}$

wobei in diesem Fall unsere Periode $\begin{eqnarray*} T= 6\pi \end{eqnarray*}$ ist, also müsste meiner Meinung nach doch

$\begin{eqnarray*} a_{0}= \frac{2}{6\pi} \int_{-3\pi }^{3\pi} \! f_{1}(x) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3\pi} \int_{-3\pi }^{3\pi} \! f_{1}(x) \, dx = \frac{1}{3\pi} \int_{-3\pi}^{0} \! f_{1}(x) \, dx + \frac{1}{3\pi} \int_{0}^{3\pi} \! f_{1}(x) \, dx = \frac{1}{3\pi} \int_{0}^{3\pi} \! f_{1}(x) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3\pi} \int_{0}^{3\pi} \! \sin(\frac{x}{3}) \, dx = -\frac{1}{\pi}(\cos(\pi)-\cos(0)) = \frac{2}{\pi} \end{eqnarray*}$

oder wo liegt mein Fehler?

22.01.2015, 11:34

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen
Erwischt. Augenzwinkern

Du hast recht, $\begin{align*} a_0=\frac 2 { \pi } \end{align*}$ .

Der Durchschnittswert, von dem ich geschrieben hatte, ist ja bekanntermaßen $\begin{align*} \frac {a_0}2 \end{align*}$ , und dieser Durchschnitt ist $\begin{align*} \frac 1 { \pi } \end{align*}$ . Tut mir leid, dass ich Dich hier durcheinandergebracht habe.

Viele Grüße
Steffen

22.01.2015, 12:42

MixMadde8

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RE: Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen
Meine Rechnung bisher:

$\begin{eqnarray*} a_{j} = \frac{2}{6\pi} \int_{-3\pi}^{3\pi} \! f_{1}(x)\cos(\frac{jx}{3}) \, dx = \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \! f_{1}(x)\cos(\frac{jx}{3})\, dx = \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \sin(\frac{x}{3} ) \cos(\frac{jx}{3}) \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \! \frac{1}{2}(\sin(\frac{x-jx}{3}) + \sin(\frac{x+jx}{3})) \, dx = \frac{1}{6\pi} \left[-\frac{3}{1-j}\cos(\frac{x-jx}{3}) -\frac{3}{1+j}\cos(\frac{x+jx}{3}) \right]_{0}^{3\pi} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = -\frac{1}{2\pi} * (-\frac{4}{1-j²}) = \frac{2}{\pi-j²\pi} \end{eqnarray*}$

für alle geraden j, also für $\begin{eqnarray*} j=2k, k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , bzw.

$\begin{eqnarray*} a_{j} = 0 \end{eqnarray*}$

für alle ungeraden j.

Weiterhin:

$\begin{eqnarray*} b_{j} = \frac{2}{6\pi} \int_{-3\pi}^{3\pi} \! f_{1}(x)\sin(\frac{jx}{3}) \, dx = \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \! f_{1}(x)\sin(\frac{jx}{3})\, dx = \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \sin(\frac{x}{3} ) \sin(\frac{jx}{3}) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{6\pi} \int_{0}^{3\pi} \! \frac{1}{2}(\cos(\frac{x-jx}{3}) - \cos(\frac{x+jx}{3})) \, dx = \frac{1}{6\pi} \left[\frac{3}{1-j}\sin(\frac{x-jx}{3}) -\frac{3}{1+j}\sin(\frac{x+jx}{3}) \right]_{0}^{3\pi} = \frac{1}{2\pi} \left[\frac{1}{1-j}\sin(\frac{x-jx}{3}) -\frac{1}{1+j}\sin(\frac{x+jx}{3}) \right]_{0}^{3\pi} \end{eqnarray*}$

So. Der Term $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{1+j}\sin(\frac{x+jx}{3}) \end{eqnarray*}$ bereitet keine Probleme - der Zähler ist sowohl bei x=3Pi als auch bei x=0 null und der Nenner wird nie null, da j eine natürliche Zahl ist. So wird also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \left[\frac{1}{1-j}\sin(\frac{x-jx}{3}) -\frac{1}{1+j}\sin(\frac{x+jx}{3}) \right]_{0}^{3\pi} = \frac{1}{2\pi} \left[\frac{1}{1-j}\sin(\frac{x-jx}{3}) \right]_{0}^{3\pi} = \frac{1}{2\pi}(\frac{\sin(\pi-\pi*j)}{1-j}-\frac{\sin(0)}{1-j}) \end{eqnarray*}$

Und der Term ist für $\begin{eqnarray*} \forall j\neq 1 \end{eqnarray*}$ eben gleich null.

Für j=1 gilt dann:

$\begin{eqnarray*} b_{1} = \frac{1}{2\pi}*\lim_{j \to 1}(\frac{\sin(\pi-\pi*j)-\sin(0)}{1-j}) = \frac{1}{2\pi}*\lim_{j \to 1}(\frac{-j\cos(\pi-\pi*j)}{-1}) = \frac{1}{2\pi}*\frac{-1}{-1} = \frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$

wobei ich die Regel von l'Hospital angewendet habe. Für die Fourierreihe erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} f_{1}(x) = \frac{1}{\pi} + \frac{\sin(\frac{x}{3} )}{2\pi} + \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{\pi-(2k)²\pi}\cos(\frac{2kx}{3}) \end{eqnarray*}$

Ist das alles soweit korrekt?

22.01.2015, 12:58

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen
Jetzt stimmt fast alles.

Nur der Koeffizient des Sinusterms nicht, denn Du hast bei l'Hopital die innere Ableitung vergessen. Der Grenzwert von $\begin{align*} \frac { \sin \pi x}x \end{align*}$ für x gegen Null ist daher nicht Eins, sondern ...

22.01.2015, 13:11

MixMadde

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RE: Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen
Äh ups, hab zwar eine innere Ableitung bilden wollen aber statt dass der Faktor -Pi bei mir davorkommt kam bei mir -j - natürlich ganz falsch.
So wird aber nun

$\begin{eqnarray*} b_{1} = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Für die Fourierreihe erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} f_{1}(x) = \frac{1}{\pi} + \frac{\sin(\frac{x}{3} )}{2} + \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{\pi-(2k)²\pi}\cos(\frac{2kx}{3}) \end{eqnarray*}$

Und jetzt sollte wohl alles stimmen!

22.01.2015, 14:35

Steffen Bühler

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RE: Reelle Fourierreihen von Funktionen berechnen
Ja, alles bestens.

Viele Grüße
Steffen

24.01.2015, 17:51

MixMadde

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Weitere Teilaufgaben der Hausübung
Und weiter geht's:

Die Hausübung besteht aus mehreren Teilaufgaben, von denen ich jetzt die meisten (so meine ich) richtig gelöst habe. Zweifel habe ich aber immer noch an einigen Punkten. Die gesamte Aufgabenstellung habe ich einmal angehängt und meine bisherigen Ergebnisse in abgespeckter Version erläutert - entschuldige mich für den langen Beitrag, aber ich denke, es hilft beim Verständnis.

zu (a): Die Skizzen habe ich gemacht, für die Fourierreihen erhielt ich:
$\begin{eqnarray*} f_{1}(x)=\frac{1}{\pi}+\sum\limits_{j=1}^\infty \frac{2}{\pi-(2j)²\pi}\cos(\frac{2jx}{3})+\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{3}) f_{2}(x)=-\frac{1}{\pi}+\sum\limits_{j=1}^\infty \frac{2}{-\pi+(2j)²\pi}\cos(\frac{2jx}{3})+\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{3}) f_{3}(x)=\frac{3}{2\pi}+\sum\limits_{j=1}^\infty \frac{12}{(2j)²\pi}\cos(\frac{2jx}{3}) \end{eqnarray*}$

(Ich weiß, dass das Gleichheitszeichen eigentlich nicht ganz richtig ist; bei uns bezeichnen wir das immer mit einer Tilde, aber hier im latex will das irgendwie nicht)
Die Reihen habe ich schon mithilfe von WolframAlpha geplottet, sie scheinen so zu stimmen.

Nun zum zweiten Teil der Teilaufgabe - die Reihen konvergieren - so ich das in unserem Skript gelesen habe - an allen Stellen, an welchen die Funktionen stetig und stetig differenzierbar sind gegen die jeweilige Funktion - also im Falle dieser Funktionen für $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ \{ $\begin{eqnarray*} 3\pi*k \end{eqnarray*}$ }, $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
An den Unstetigkeitsstellen (der Ableitungen) konvergieren sie nach dem Dirichlet-Kriterium für punktweise Konvergenz gegen das arithmetische Mittel $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(\lim_{x \to x_{0}+0 }f(x) + \lim_{x \to x_{0}-0} f(x)) \end{eqnarray*}$ .
Die Unstetigkeitsstellen wiederholen sich wie folgt periodisch:
$\begin{eqnarray*} x_{1} = 6\pi*k x_{2} = 3\pi+6\pi*k k=0 \end{eqnarray*}$
(ich habe mir erlaubt k=0 zu wählen)
Also die Grenzwerte für $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(\lim_{x \to x_{1}+0 }f(x) + \lim_{x \to x_{1}-0} f(x)) = 0 \frac{1}{2}(\lim_{x \to x_{2}+0 }f(x) + \lim_{x \to x_{2}-0} f(x)) = 0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} f_{2} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(\lim_{x \to x_{1}+0 }f(x) + \lim_{x \to x_{1}-0} f(x)) = 0 \frac{1}{2}(\lim_{x \to x_{2}+0 }f(x) + \lim_{x \to x_{2}-0} f(x)) = 0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} f_{3} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(\lim_{x \to x_{1}+0 }f(x) + \lim_{x \to x_{1}-0} f(x)) = 3\pi \frac{1}{2}(\lim_{x \to x_{2}+0 }f(x) + \lim_{x \to x_{2}-0} f(x)) = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig als Antwort auf die Fragestellung?

zu (b): Habe folgende Fourierreihe für die Funktion bestimmt:
$\begin{eqnarray*} f_{c_{1} ,c_{2}}(x)=\frac{3\pi²c_{2} +2-2c_{1}}{2\pi}+\sum\limits_{j=1}^\infty (\frac{12c_{2}}{(2j-1)²\pi}\cos(\frac{(2j-1)x}{3})+\frac{2-2c_{1}}{\pi-(2j)²\pi}\cos(\frac{2jx}{3}))+\frac{1+c_{1}}{2}\sin(\frac{x}{3}) \end{eqnarray*}$
Nehmen wir mal an das stimmt so (ich hoffe es!)

dann zur (c) - hier habe ich $\begin{eqnarray*} c_{1}=1, c_{2}=0 \end{eqnarray*}$ gewählt und erhalte erwartungsgemäß für die Fourier-"Reihe":
$\begin{eqnarray*} f_{1,0}(x)=\sin(\frac{x}{3}) \end{eqnarray*}$
Die Fourierreihe für die Ableitung kann ich nun entweder nach dem Einsetzen bestimmen oder davor durch gliedweises differenzieren (da die Bedingung dafür, also die Stetigkeit der Funktion, erfüllt ist) und erhalte so:
$\begin{eqnarray*} f'_{1,0}(x)=\frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3}) \end{eqnarray*}$
Und da es sich um keine Reihe mehr handelt tu ich mir ein wenig schwer mit der Frage, gegen welche Funktion dies konvergiert. Meiner Auffassung nach ist das einfach nur noch eben diese Kosinusfunktion. Ist das korrekt?

zur (d) - Bedingung für eine Periodische Stammfunktion ist, dass der Faktor $\begin{eqnarray*} a_{0}=0 \end{eqnarray*}$ ist, so habe ich dann $\begin{eqnarray*} c=-\frac{4}{3\pi²} \end{eqnarray*}$ gesetzt.

Für die Stammfunktion davon erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} F_{-1,-\frac{4}{3\pi²}}(x) = \sum\limits_{j=1}^\infty (-\frac{48}{(2j-1)³\pi³}\sin(\frac{(2j-1)x}{3})-\frac{6}{j\pi(4j²-1)}\sin(\frac{2jx}{3})) \end{eqnarray*}$

Und hier habe ich nun keine so richtige Ahnung, wie ich herausfinden soll, gegen welche Funktion diese Reihe konvergiert. Meine Intuition sagt mir, dass die Reihe wohl gegen die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion konvergiert, aber in der Mathematik ist manchmal nicht alles wie es scheint - und ich will hier nichts dem Zufall überlassen.

Also zusammenfassend: Ich suche Gewissheit bei der Beantwortung des letzten Teils der Teilaufgabe (a) und (c) und Hilfe beim letzten Teil der Teilaufgabe (d).
Vielen Dank!

25.01.2015, 20:27

Steffen Bühler

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Da Du die Anschlussfrage sinnvollerweise in einen neuen Thread (Hausübung zu Fourierreihen - Konvergenz) verlagert hast, schließe ich hier.

Viele Grüße
Steffen

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