Lin Algebra (Aufgabe 3 und 4)

21.01.2015, 23:42

robinhuskin

Lin Algebra (Aufgabe 3 und 4)

Edit (mY+): Doppelt vorhandene (gleiche) Datei entfernt.
Dass morgen Abgabe ist, ist bedauerlich, gehört aber nicht in den Titel. Modifiziert.

Hallo Leute,

ich habe eine bitte an euch... ja ich weiß, es ist nicht erlaubt hier komplette Lösungen zu posten, aber ich habe heute, den ganzen Tag gepaukt um Aufgabe 1 und 2 100%ig richtig zu lösen, nun muss ich noch 3 und 4 100%ig richtig lösen, um Studienleistung zu erreichen. Es kann ganz knapp werden, morgen habe ich 2 Stunden Zeit (bis 11 Uhr Abgabe) und jetzt ist es ein bisschen spät, um Aufgabe 3 und 4 zu machen...
Wäre sehr nett von euch, wenn ihr mir so gut wie möglich bei der Lösung von 3 und 4 helft, so, dass ich in 2 Stunden es schaffe, die beiden Aufgaben zu bearbeiten...
Aber, ich befürchte, dass ich in 2 Stunden das ganze nicht 100%ig richtig löse... unglücklich

((
Helft mir irgendwie...bitte.

[attach]36893[/attach]

22.01.2015, 00:25

HAL 9000

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Da du bequemerweise die Aufgaben hier gleich nur als PDF-File abgekippt hast, mache ich mir auch nicht viel Mühe beim Lösen, sondern gebe zu Aufgabe 4 nur ein Stichwort, welches der Schlüssel zu einer fast ebenso kurzen Lösung ist: Vandermonde

Gute N8 Wink

22.01.2015, 05:51

12flash

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Zitat:

Original von HAL 9000
Da du bequemerweise die Aufgaben hier gleich nur als PDF-File abgekippt hast, mache ich mir auch nicht viel Mühe beim Lösen, sondern gebe zu Aufgabe 4 nur ein Stichwort, welches der Schlüssel zu einer fast ebenso kurzen Lösung ist: Vandermonde

Gute N8 Wink

die Aufgabe 4 finde ich trotz des Hinweises schwierig, vllt kannst du bitte nach der Abgabe einen weiteren hinwies geben?

22.01.2015, 06:25

Complexi

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Mein weiterer Hinweis lautet "Annehmen einige x wären null und genügend Spalten streichen, bis ...".

22.01.2015, 08:10

robinhuskin

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Gibts hier niemanden, der 'was von Linearer Algebra versteht und mir etwas mehr helfen kann? Sitze schon seit 4 Uhr morgens und komme nicht weiter. Wenigstens Aufgabe 4 und ich versuche 3 in der Zwischenzeit unglücklich

(

22.01.2015, 08:11

GuntherGeier

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Schon mal in deine Nachrichten geschaut?

22.01.2015, 08:33

robinhuskin

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Ups, nicht gesehen... DANKE für die Hilfe!

22.01.2015, 12:47

12flash

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$\begin{eqnarray*} rang(G)=3 \end{eqnarray*}$

wenn wir von der erweiterte Matrix den rang betraten für $\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2\neq x_3\neq x_4\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} rang(G |b)=4\neq rang(G) \end{eqnarray*}$

Damit müsste doch ab mindestens 4 Einträge keine Lösung vorhanden sein???

Stehe komplett auf der Leitung unglücklich

22.01.2015, 15:09

12flash

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oh je

natürlich gilt rang(G |b)= rang(G)
d.h wir haben mindesten einen Lösung.

wir benutzen den dimensionssatz
dim K^7=dim(kern(G))+dim(im(G))

7=dim(kern(G))+3

dim(kern(G))=4 *

Sein ein vektor mit G(x)=0 wegen * und damit x Element des kerns
->so hat der vektor mindestens 4 einträge ungleich null

22.01.2015, 15:18

HAL 9000

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Die letzte Zeile enthält für mich keine einleuchtende Begründung:

Wieso soll aus Kerndimension=4 folgen, dass jeder Vektor aus diesem Kern mindestens 4 Einträge ungleich Null haben soll? unglücklich

22.01.2015, 15:34

12flash

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(
Sei x Element vom Kern und die Basis des Kerns v1...v4 sein

dann lässt x darstellen als x=y1*v1+...y4*v4

wir nehmen die basis des kerns entspricht der Standardbasis also v1=e1 usw.

damit haben wir genau 4 variablen

entspricht die basis nicht der Standardbasis, dann lässt sich v1 als linearkombination der stadardbasis darstellen
-> mindesten 4 variablen

)

ich würde es gerne mit deinen vorschlag versuchen Vandermonde, weiß aber nicht wie

22.01.2015, 15:46

HAL 9000

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Angenommen, es gibt einen Vektor $\begin{align*} x\neq 0 \end{align*}$ mit $\begin{align*} Gx=0 \end{align*}$ , der maximal drei Komponenten ungleich Null enthält. Von den dann mindestens vier Null-Komponenten streichen wir mal genau vier, sowie auch die zugehörigen vier Spalten der Matrix $\begin{align*} G \end{align*}$ .

Es bleiben dann übrig ein Vektor $\begin{align*} x'\in\mathbb{R}^3 \end{align*}$ und eine Matrix $\begin{align*} G'\in \mathbb{R}^{3\times 3} \end{align*}$ mit $\begin{align*} x'\neq 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} G'x' = Gx = 0 \end{align*}$ .

Nun hat aber jede Spalte der Ausgangsmatrix die Struktur $\begin{align*} \begin{pmatrix} t \\ t^2 \\ t^3 \end{pmatrix} \end{align*}$ , also hat auch $\begin{align*} G' \end{align*}$ nach Streichen der vier Spalten die Struktur $\begin{align*} G' = \begin{pmatrix} a & b & c\\ a^2 & b^2 & c^2\\ a^3 & b^3 & c^3 \end{pmatrix} \end{align*}$ .

Es folgt durch Herausziehen von Faktoren für die Determinante

$\begin{align*} \det(G') = abc\cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix} \end{align*}$ ,

und hinten steht nun eine Vandermonde-Determinante, insgesamt also

$\begin{align*} \det(G') = abc(b-a)(c-a)(c-b) \end{align*}$ .

Da wir wissen, dass $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ paarweise verschieden sind sowie aus der Menge $\begin{align*} \{1,2,3,4,5,6,7\} \end{align*}$ , so folgt $\begin{align*} \det(G') \neq 0 \end{align*}$ , ganz egal welche Spalten wir gestrichen haben. Damit hat das homogene System $\begin{align*} G'x'=0 \end{align*}$ aber nur die Triviallösung $\begin{align*} x'=0 \end{align*}$ , im Widerspruch zur obigen Annahme.

22.01.2015, 16:05

12flash

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super

P.S die idee hatte ich auch, allerdings wollte ich per Fuss 7*6*5=210 Determinante ausrechnen und das erschien irgendwie verkehrt....

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