Cosinusfunktion Parameter bestimmen

22.01.2015, 01:06

Crunch

Cosinusfunktion Parameter bestimmen

Hallo,
ich verstehe folgende Aufgabe leider nicht so ganz, bzw. komme nicht auf das gewünschte Ergebnis.

Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) = Acos(\omega t+\phi) \end{eqnarray*}$ .Der am nächsten beim Ursprung liegende Nulldurchgang von f(t) ist N mit den Koordinaten $\begin{eqnarray*} (-\frac{\pi }{4} | 0 ) \end{eqnarray*}$ . Der zu N benachbarte Tiefpunkt hat die Koordinaten $\begin{eqnarray*} (\frac{\pi }{2} | -2 ) \end{eqnarray*}$ .Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

A = 2, das sehe ich an der Differenz der Y-Koordinaten in diesem Fall.

Nun habe ich mir zunächst eine Skizze mit den zwei Punkten gemacht. Die Differenz dieser beiden Punkte ist $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}\pi \end{eqnarray*}$ . Das entspräche ja einem "Halbbogen" von der halben Periode, so die Idee. Also habe ich es mal zwei genommen um den Nächsten Nulldurchgang auf der positiven Seite zu bekommen. Das wäre dann bei $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}\pi \end{eqnarray*}$ . Wenn ich das nochmal mal zwei nehme , dann müsste ich ja bei der Periode landen, was dann $\begin{eqnarray*} 3\pi \end{eqnarray*}$ wären.
Aber mit dieser Methode komme ich auf keinen grünen Zweig und es scheint ein falscher Ansatz zu sein....

22.01.2015, 08:58

klarsoweit

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RE: Cosinusfunktion Parameter bestimmen
Wo klemmt es denn jetzt? Wenn wir uns mal den Plot ansehen, mußt du nur noch phi so wählen, daß der Tiefpunkt bei pi/2 liegt.

22.01.2015, 12:27

Crunch

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RE: Cosinusfunktion Parameter bestimmen
Laut meiner Überlegung wären ja 3 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ die Periode.
In der Lösung steht jedoch das die Periode 2/3 ist und die Phasenverschiebung auch 2/3 beträgt. Und ich weiß einfach nicht wie die in der Lösung auf den Wert kommen.

22.01.2015, 12:45

klarsoweit

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RE: Cosinusfunktion Parameter bestimmen

Zitat:

Original von Crunch
Laut meiner Überlegung wären ja 3 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ die Periode.

Das sehe ich auch so.

Zitat:

Original von Crunch
In der Lösung steht jedoch das die Periode 2/3 ist

Steht das tatsächlich so da? Für Periode T ist $\begin{eqnarray*} \omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{3 \pi} = \frac 2 3 \end{eqnarray*}$

22.01.2015, 13:43

Crunch

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Also in der Lösung steht :

$\begin{eqnarray*} y = 2 cos (\frac{2}{3} t+\frac{2}{3}\pi ) \end{eqnarray*}$
Das vor dem t ist doch die Anzahl der Schwingungen und das danach die Phasenverschiebung, sofern ich das richtig verstanden habe. Ich habe hier die $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}t \end{eqnarray*}$ gleich gesetzt mit der Periode, was man scheints nicht machen darf.

Mich verwirrt der Unterschied zwischen der Periode und der Kreisfrequenz, die doch die Anzahl der Schwingungen in einer Periode angibt. Wenn sich die Schwingungen nun öfters wiederholen, dann würde doch auch die Periode verändert werden, da diese doch nur beschreibt, ab wann sich der Wechselverlauf wiederholt.

22.01.2015, 14:02

mYthos

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Die Phasenverschiebung (Phasenwinkel) beträgt nicht $\begin{eqnarray*} \frac 2 3 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \frac 2 3 \pi \end{eqnarray*}$ (!)
$\begin{eqnarray*} T = 3 \pi \end{eqnarray*}$ ist Schwingungsdauer (= 1/f, Kehrwert der Frequenz).

Wie man genau (ohne raten zu müssen) dazu kommt:
Die Nullstelleneigenschaft UND die Exremstelle beschreiben wir mit 2 Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} (1) \ -\frac{\omega \pi} 4 + \varphi = \frac{\pi} 2 \ \ \text{wegen } \cos \frac{\pi} 2 = 0 \ \ \text{(Nullstelle)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ \frac{\omega \pi} 2 + \varphi = \pi \ \ \text{wegen } \sin \pi = 0 \ \ \text{(Extremstelle)} \end{eqnarray*}$
------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} (2) - (1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3 \omega \pi} 4 = \frac{\pi} 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \omega \ , \ \to \varphi \end{eqnarray*}$

mY+

22.01.2015, 14:17

mYthos

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Nachdem ich deinen Beitrag gesehen habe:

"Das vor dem t" ist NICHT die Anzahl der Schwingungen, sondern die Kreisfrequenz $\begin{eqnarray*} \omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi} T \end{eqnarray*}$ , also ein Winkel. Jener Winkel, der vom Zeiger in 1/f [s] bzw. in 1 [s] überstrichen wird!
Die Periodenlänge p ergibt sich aus f(t) = f(t + tp), daher ist

$\begin{eqnarray*} \omega t_p = 2 \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 2 3 t_p = 2 \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_p = 3 \pi = T \end{eqnarray*}$

Somit ist die Periodenlänge gleich der Schwingungsdauer T

mY+

P.S: Entschuldige @klarsoweit meinen Einstieg, mir ging es darum, Klarheit in die so oft verwechselten und missverstandenen physikalischen Begriffe zu bringen. Bin dann wieder weg!

22.01.2015, 15:43

Crunch

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Ok, danke nun ist der Unterschied zwischen Schwinungsdauer und Periode etwas klarer.
Was die Phasenverschiebung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ betrifft. So dachte ich mir, das ich von der angegebenen Nullstelle $\begin{eqnarray*} (-\frac{\pi }{4} | 0 ) \end{eqnarray*}$ aus einfach $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ dazu addiere, sodass ich meinen ersten Hochpunkt links von der Nullstelle erhalte.
Diesen Hochpunkt könnte man doch als Ausganspunkt heranziehen bei der Standard Cosinusfunktion, da diese bei 0 , ihren Hochpunkt hat.

Nun war die Überlegung, dass ich es mittels dem ersten Negativen Hochpunkt welcher ja bei $\begin{eqnarray*} (-\frac{3\pi }{4} | 0 ) \end{eqnarray*}$ sein müsste, einfach nur den Hochpunkt so verschieben muss, damit er auf der Y-Achse landet. Sprich $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi }{4} \end{eqnarray*}$ , was dann ja zugleich auch die Phasenverschiebung sein müsste. Aber das scheint nicht aufzugehen.

22.01.2015, 23:34

mYthos

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Du kannst mit den $\begin{eqnarray*} \frac{3 \pi} 4 \end{eqnarray*}$ rechnen, indem du sie - multipliziert mit $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ - mit $\begin{eqnarray*} \frac {\pi} 2 \end{eqnarray*}$ gleichsetzt (zwischen Nullstelle und Extremwert liegt bei der Standard-Cos Funktion $\begin{eqnarray*} \frac {\pi} 2 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \frac{3 \pi} 4 \cdot \omega = \frac {\pi} 2 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$

Aber dies kann (physikalisch) keineswegs gleich der Phasenverschiebung sein.
Denn $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ist die Kreisfrequenz (Winkel pro Sekunde; erst $\begin{eqnarray*} \omega t \end{eqnarray*}$ ist der reine Winkel), währenddessen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bereits ein Winkel direkt ist.

mY+

23.01.2015, 11:48

Crunch

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Ok ich hätte vielleicht dazu sagen sollen, das diese Aufgabe nichts mit Physik zu tun hat, rein mathematisch . Wir verwenden in der Schule trotzdem immer die physikalischen Begriffe, wenn auch wie du sagst etwas unpassend.

Wenn man $\begin{eqnarray*} \frac{3 \pi}{4} * \omega = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gleichsetzt erhält man ja die $\begin{eqnarray*} 3 \pi \end{eqnarray*}$ "Periode", welche ich auch aus der Überlegung schon rausgefunden habe.

Mich würde nur interessieren woran du siehst, das $\begin{eqnarray*} \varphi = \omega \end{eqnarray*}$ ist. Das ist mir leider noch unklar.

23.01.2015, 14:43

mYthos

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Zitat:

Original von Crunch
...
Wenn man $\begin{eqnarray*} \frac{3 \pi}{4} * \omega = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gleichsetzt erhält man ja die $\begin{eqnarray*} 3 \pi \end{eqnarray*}$ "Periode", welche ich auch aus der Überlegung schon rausgefunden habe.
...

Dies ist eben NICHT $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , sondern T (!)

Rechne doch die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ weiter aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{3 \pi}{4} * \omega = \frac{\pi}{2} \ | \ : \pi \ | \ *4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \omega = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega = \frac 2 3 \end{eqnarray*}$

Und es ist auch NICHT $\begin{eqnarray*} \varphi = \omega \end{eqnarray*}$
Das alles habe ich schon geschrieben, $\begin{eqnarray*} \omega = \frac 2 3 , \ \varphi = \frac 2 3 \color{red} \pi \end{eqnarray*}$ , die Zahlengleichheit ist zufällig.
Ich habe den Eindruck, dass du unsere Antworten zu wenig genau ansiehst.

Der Unterschied in der Dimension der beiden Größen wurde auch erklärt.
Die Phasenverschiebung ist ein konstanter Winkel, $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ hingegen ein Multiplikator der Variablen t, wobei erst damit ein Winkelargument entsteht.

Und wenn du wissen willst, wie man darauf kommt, sieh dir nochmals die beiden weiter oben im Vorpost angegebenen Gleichungen an, damit kann man beides exakt berechnen, ohne Vermutungen anstellen oder raten zu müssen.

mY+

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