Fixpunktsatz, Konvergenz

22.01.2015, 10:41

StrunzMagi

Fixpunktsatz, Konvergenz

Sei a>0 vorgegeben.Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ werde rekursiv definiert durch
$\begin{eqnarray*} a_0=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a^{a_n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\ge 0 \end{eqnarray*}$

a)
Man zeige: Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} 1 \le a \le e^{\frac{1}{e}} \end{eqnarray*}$ und divergiert für $\begin{eqnarray*} a>e^{\frac{1}{e}} \end{eqnarray*}$
Hinweis: Ein möglicher Grenzwert ist Fixpunkt der Abbildung $\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \end{eqnarray*}$

Hallo,
Ich hoffe es ist okay hier zu schreiben, da ich die Frage vor ein paar Tagen bei Matheraum aufgeschrieben habe, die Frage aber schon ausgelaufen(inaktiv) ist, da keiner geantwortet hat.

$\begin{eqnarray*} a_0=a<br /> a_1=a^a<br /> a_2=a^{a^a} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a\ge 1 \end{eqnarray*}$ gilt dass $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ monoton steigend ist:
$\begin{eqnarray*} n=0: a_0=a<a^a=a_1 \end{eqnarray*}$
Es gelte nach Induktionsannahme $\begin{eqnarray*} a_{n-1}<a_n \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} a_n=a^{a_{n-1}}<a^{a_n}=a_{n+1} \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} a\ge 1 \end{eqnarray*}$ und der Induktionsannahme

Für $\begin{eqnarray*} 1\le a\le e^{\frac{1}{e}} ist (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ beschränkt:
Annahme $\begin{eqnarray*} 1\le a_n\le e \end{eqnarray*}$
Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} n=0: 1\le a_0=a \le e^{\frac{1}{e}} < e \end{eqnarray*}$
Es gelte nach Induktionsannahme $\begin{eqnarray*} 1\le a_n \le e \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} 1\le a_n =a^{a_{n-1}} \le a^{a_n} =a_{n+1}\le a^e \le (e^{\frac{1}{e}})^e =e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konvergiert

Für $\begin{eqnarray*} a>e^{\frac{1}{e}} \end{eqnarray*}$ hab ich wie im Hinweis den Fixpunktsatz zu rate ziehen wollen
Sei $\begin{eqnarray*} D \subseteq\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein abgeschlossenes Intervall und $\begin{eqnarray*} f: D\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine differenzierbare Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(D) \subseteq D \end{eqnarray*}$ . Es gebe ein q < 1, so dass $\begin{eqnarray*} |f'(x)|\le q \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} x_n:=f(x_{n-1}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\ge 1 \end{eqnarray*}$ . Dann konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ gegen die eindeutige Lösung $\begin{eqnarray*} \epsilon\in D \end{eqnarray*}$ der Gleichung $\begin{eqnarray*} f(\epsilon)=\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Zurück zum Bsp.:
$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x, x_n=f(x_{n-1})=a^{x_n-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\ge 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=a^x log(a) \end{eqnarray*}$
Wie erhalte ich aber mit den Fixpunktsatz ein Widerspruch zur Konvergenz?

Liebe Grüße,

22.01.2015, 11:47

Guppi12

Fixpunktsatz, Konvergenz

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