Anfangswertaufgabe Differentialgleichung

22.01.2015, 12:13

Malameister

Anfangswertaufgabe Differentialgleichung

Meine Frage:
Bestimme die Anfangswertaufgabe/ Differentialgleichung:
y'y = y(1+y') mit y=1 an der Stelle x= 0

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} y'\cdot x = y+y\cdot y' \Rightarrow y'=\frac{y}{x-y} \Rightarrow y' = \frac{\frac{y}{x} }{1-\frac{y}{x} } \end{eqnarray*}$
Nun substituiere ich mit: u=y/x
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(u)= y' = \frac{u}{1-u} \end{eqnarray*}$
Ist der Ansatz soweit richtig, wie gehe ich weiter vor?

22.01.2015, 12:18

HAL 9000

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Ich gehe mal davon aus, dass die wirkliche DGL die ist, die unter "Meine Ideen" steht, also $\begin{align*} y'x = y(1+y') \end{align*}$ und NICHT wie oben $\begin{align*} y'y=y(1+y') \end{align*}$ . verwirrt

Wenn du $\begin{align*} u = \frac{y}{x} \end{align*}$ substituierst, musst du konsequenterweise auch $\begin{align*} y' \end{align*}$ durch einen passenden $\begin{align*} u \end{align*}$ -Term ersetzen:

Aus $\begin{align*} y=ux \end{align*}$ folgt durch Differenzieren $\begin{align*} y'=u'x+u \end{align*}$ , und das nun noch einsetzen.

22.01.2015, 13:12

Malameister

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Natürlich y'x=y(1+y') , ich bitte um Entschuldigung!

Dann lautet die DGL wie folgt.
$\begin{eqnarray*} u+x\cdot u' = \frac{u}{1-u} \end{eqnarray*}$

Hab diese versucht mit Seperation zu lösen, kam allerdings auf folgende Gleichung:
$\begin{eqnarray*} -\frac{1+ln(u)\cdot u}{u} = ln(x)+ln(c) \end{eqnarray*}$

Das wird ja nie auf ne Lösung nach u führen.

22.01.2015, 15:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malameister
Das wird ja nie auf ne Lösung nach u führen.

Aber zumindest nach $\begin{align*} x \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} x=x(y) \end{align*}$ . Führe dazu aber erstmal die Rücksubstitution aus.

23.01.2015, 11:47

Malameister

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Schaffe es einfach nicht x in Abhängigkeit von y zu bekommen, nachdem ich rücksubstituiert habe.
Wie gehe ich da am besten vor?

23.01.2015, 12:07

HAL 9000

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Versteh ich nicht, da sind keine besonderen Kniffe dabei. Zeig doch mal deine Überlegungen.

23.01.2015, 17:26

Malameister

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Wenn ich u wieder durch y/x ersetze:

$\begin{eqnarray*} -\frac{x}{y} +ln(\frac{y}{x}) = ln(x)+ln(c) \Rightarrow e^{-\frac{x}{y}} +\frac{y}{x} =x\cdot c \end{eqnarray*}$

24.01.2015, 13:36

Malameister

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Wie gehe ich am besten weiter vor?

24.01.2015, 16:11

Bananenbruno

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Zitat:

Original von Malameister
Wie gehe ich am besten weiter vor?

Du hast e mit ln(x)+ln(c) richtig zum Produkt xc potenziert.

Ergibt sich beim Potenzieren von e mit der Summe $\begin{eqnarray*} -\frac{x}{y} + ln(\frac{y}{x}) \end{eqnarray*}$ denn wirklich $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{x}{y}} +\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ ?

24.01.2015, 16:17

Bananenbruno

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Alternative(n) zur Subst. / totales Differential bilden
Wenn man sich sowieso damit abgefunden hat, x(y) anstatt y(x) zu bestimmen, dann
kann man auch die anfängliche Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x-y} \end{eqnarray*}$ umkehren
und die daraus entstehende lineare Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy}=\frac{x-y}{y} \end{eqnarray*}$ ohne Substitution nach x(y) auflösen. ("Alternative A")

Oder weder x(y) noch y(x) bevorzugen, sondern für die anfängliche Gleichung einen besonders leicht zu bestimmenden integrierenden Faktor suchen. ("Alternative B")

24.01.2015, 19:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malameister
Wenn ich u wieder durch y/x ersetze:

$\begin{eqnarray*} -\frac{x}{y} +ln(\frac{y}{x}) = ln(x)+ln(c) \end{eqnarray*}$

Vorzeichenfehler gleich zum Start. unglücklich

Wenn man $\begin{align*} u=\frac{y}{x} \end{align*}$ in $\begin{align*} -\frac{1+\ln(u)\cdot u}{u} = \ln(x) + \ln(c) \end{align*}$ einsetzt, dann steht da

$\begin{align*} -\frac{x}{y}~{\color{red}-}~\ln\left(\frac{y}{x} \right) = \ln(x) + \ln(c) \end{align*}$

$\begin{align*} -\frac{x}{y} - \ln(y) = \ln(c) \end{align*}$ .

Das sollte nun nicht so schwer nach $\begin{align*} x \end{align*}$ umstellbar sein.

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