Ungleichungen mit Beträgen und Brüchen, Fallunterscheidung

22.01.2015, 12:44

Soeren

Ungleichungen mit Beträgen und Brüchen, Fallunterscheidung

Hallo,

Ich habe folgende Aufgabe vor mir

$\begin{eqnarray*} \frac{|2x-1|-4}{x+1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq -1 \end{eqnarray*}$ .

Das ist meine erste Ungleichungen mit Brüchen und wollte einmal Fragen ob ich alle ( oder zu viele)
Fallunterschiede erkannt habe:

$\begin{eqnarray*} x \neq -1 \end{eqnarray*}$

1. Fall
$\begin{eqnarray*} 2x-1\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+1>0 \end{eqnarray*}$

2. Fall
$\begin{eqnarray*} 2x-1\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+1<0 \end{eqnarray*}$

3. Fall
$\begin{eqnarray*} 2x-1< 0 \end{eqnarray*}$

lg
$\begin{eqnarray*} x+1>0 \end{eqnarray*}$

4. Fall
$\begin{eqnarray*} 2x-1< 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+1<0 \end{eqnarray*}$

22.01.2015, 14:02

HAL 9000

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Das ist eine Möglichkeit, ja.

Allerdings handelt man sich bei dieser Art der Unterteilung manchmal "Leerfälle" ein, d.h. Fälle, wo gar kein x die Kombination der Fallbedingungen erfüllt - bei dir ist das Fall 2.

Alternative: Man macht erstmal nur eine Hauptfallunterscheidung (im vorliegenden Fall z.B. bzgl. des Nenners) und formt dort schon mal soweit wie möglich um:

1.Fall: $\begin{align*} x+1<0 \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} x<-1 \end{align*}$

Das ergibt nach Multiplikation mit $\begin{align*} (x+1)<0 \end{align*}$

$\begin{align*} |2x-1|-4 \leq -(x+1) \end{align*}$

$\begin{align*} |2x-1| \leq 3-x \end{align*}$

Der Term im Betrag ist hier (d.h. für $\begin{align*} x<-1 \end{align*}$ ) immer negativ, also folgt sofort

$\begin{align*} -(2x-1) \leq 3-x \end{align*}$ usw.

2.Fall: $\begin{align*} x>-1 \end{align*}$

Nunmehr Multiplikation mit $\begin{align*} (x+1)>0 \end{align*}$

$\begin{align*} |2x-1|-4 \geq -(x+1) \end{align*}$

$\begin{align*} |2x-1| \geq 3-x \end{align*}$

Jetzt die weiteren Unterfälle

2.1.Fall: $\begin{align*} 2x-1<0 \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} x<\frac{1}{2} \end{align*}$

2.2.Fall: $\begin{align*} x\geq \frac{1}{2} \end{align*}$

Diese Variante ist insbesondere dann empfehlenswert, wenn die Ungleichungsterme relativ groß und aufwändig umzuformen sind - da spart eine solch hierarchischer Aufbau etliche stereotype "Wiederholungen".

22.01.2015, 15:38

Soeren

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Danke das hat mir sehr geholfen!
Falls jemand vor dem selben Problem steht und die Aufgabe gerne selber rechnen möchte, hier sind meine Lösungen. Ohne Gewähr =)

1 Fall:
$\begin{eqnarray*} x\in [-2,-1[ \end{eqnarray*}$

2. Fall
$\begin{eqnarray*} x\in [\frac{4}{3}, +\infty[ \end{eqnarray*}$

3. Fall
$\begin{eqnarray*} -2\leq x > -1 \end{eqnarray*}$ Hammer

---
$\begin{eqnarray*} x \in [\frac{4}{3},+\infty [ \cup [-2,1[ \end{eqnarray*}$

22.01.2015, 16:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Soeren
3. Fall
$\begin{eqnarray*} -2\leq x > -1 \end{eqnarray*}$ Hammer

Ungewöhnliche Schreibweise für die dann leere Lösungsmenge in diesem Fall, aber es ist klar, was du menst. Augenzwinkern

(EDIT: Obwohl, ich hätte dann eher an der Stelle $\begin{eqnarray*} -2\geq x > -1 \end{eqnarray*}$ erwartet. verwirrt

)

Die Gesamt-Lösungsmenge ist richtig. Freude

22.01.2015, 18:35

Soeren

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Hatte die leere Menge (die Leere Menge, Eigenwort?) im Fomeleditor nicht gefunden und {} konnte latex irgendwie nicht darstellen.

Zur Aufgabe: Ja du hast recht, habe beim Dividieren mit -1 das ">" Zeichen nur in meinen Gedanken umgedreht, danke für den Hinweis.

schönen Abend noch Wink

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