Gruppentheorie Zyklische Gruppen

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Gruppenzwang Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppentheorie Zyklische Gruppen
Hallo,

ich hab ein Problem mit Gruppentheorie und bräuchte bitte bitte bitte Hilfe.

Ich habe verstanden was eine Gruppe ist, nur habe ich Probleme bei Zyklischen Gruppen.

So wie ich es verstanden habe ist eine Zyklische Gruppe, eine Menge/Gruppe die sich mit einem Erzeugenden selber aufbaut. Beispiel bei einer Gruppe mit natürlichen Zahlen (N, +) der Erzeugender die +1 ist. Bei den ganzen Zahlen +1 und -1. Keine zyklischen Gruppen wären Gruppen aus Mengen wie A = {1,5,2,9,a,d,n}.

Was ich aber nicht verstehe ich habe zum Beispiel Gruppe (G, *) mit den sechs Elementen {u,v,w,x,y,z}. x ist das neutrale Element. Die Gruppe ist natürlich abelsch da ja alle zyklischen Gruppen abelsch sind. Was ist hier dann bitte der Erzeugende?

Hier die Verknüpfungstafel:

* u v w x y z
u x y z u v w
v y z x v w u
w z x y w u v
x u v w x y z
y v w u y z x
z w u v z x y

Ich verstehe das ganze bei Buchstaben nicht. Wir werden aber garantiert so eine Aufgabe in der Klausur bekommen. Unterlagen waren auch nicht aufschlussreich. Mit Erzeugender der Gruppe ist doch ein Wert gemeint, welche die Elemente der Gruppe aufbaut nicht die Elemente die bei einer Äquivalenzrelation für die Gruppe mit der Verknüpfung dann entstehen?

Beim multiplizieren verstehe ich das überhaupt nicht.
(Z,*) = *+1 und *-1?
(N, *) = *+1?

(Z/Zm, +) = die 1, da jedes Element der Restklasse mit 1+1+1+1... gebildet werden kann.
(Z/Zm, *) = ???

Danke mfg
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Beispiel bei einer Gruppe mit natürlichen Zahlen (N, +)

(N,+) ist keine Gruppe, es gibt keine Inversen.

Zitat:
Keine zyklischen Gruppen wären Gruppen aus Mengen wie A = {1,5,2,9,a,d,n}.

Das ist noch nichtmal eine Gruppe.
Mengen sind niemals Gruppen. Es fehlt die Verknüpfung.

Zitat:
Hier die Verknüpfungstafel:

Gesucht ist ein Element A dessen Potenzen alle anderen Gruppenelemente darstellen. (Es gibt also für jedes Gruppenelement )
Also durchprobieren:
v²=v*v=z
v³=v*z=u
v^4=v*u=y
v^5=v*y=w...

Zitat:
Ich verstehe das ganze bei Buchstaben nicht.

Wie man die Elemente bezeichnet ist volkommen egal- Man hatte sie auch 0,1,2,3,4,5, nennen können oder George, Walker,Bush, Barack,Husein,Obama.


Zitat:
(Z/Zm, *) = ???

ist keine Gruppe, ist nicht immer zyklisch und selbst falls sie es sind lassen sie Erzeuger nicht Allgemein angeben.


Zitat:
Beim multiplizieren verstehe ich das überhaupt nicht.
(Z,*) = *+1 und *-1?
(N, *) = *+1?

Das sind beides keine Gruppen. Und das = ist hier völlig Fehl am Platz: Links und rechts stehen Objekte die nicht einmal vergleichbar sind.
Gruppenzwang Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Danke für die Antwort Wink

Zitat:
(N,+) ist keine Gruppe, es gibt keine Inversen.


Sry stimmt ist ja nur eine Halbgruppe.

Zitat:
Das ist noch nichtmal eine Gruppe.
Mengen sind niemals Gruppen. Es fehlt die Verknüpfung.


Wieso nicht? (A,*) mit den Elemente {1,5,2,9,a,d,n}. Eine Gruppe ist doch eine innere Verknüpfung. Ich meinte damit lediglich das eine Gruppe mit solchen Elementen keine zyklische Gruppe sein kann da es ja nichts gibt was die Elemente erzeugen kann. Oder irre ich mich da?


Zitat:
Das sind beides keine Gruppen. Und das = ist hier völlig Fehl am Platz: Links und rechts stehen Objekte die nicht einmal vergleichbar sind.


Mit dem = meinte ich Gruppe = Erzeugender. So sollen wir es auch in der Klausur beantworten. Erzeugender der Gruppe (G, *) mit den Elementen {...} = ?.

Ok ich habs mal so gemacht wie du gesagt hast.

[attach]36901[/attach]

Ich merke daraus das nur die Potenzen von V und W die restlichen Elemente der Gruppe darstellen können. Alle anderen treffen vorher auf das neutrale Element und mit dem gehts ja dann immer von vorne los. Also sind V und W Erzeugende der Gruppe? Dachte es kann nur eine Erzeugende immer geben.

Auf die Frage:

Zitat:
Die Gruppe ist zyklisch. Geben Sie eine Erzeugende an! (Alle Antworten mit Begründung).


Würde die Antwort als Antwort genügen?:

Zitat:
Eine Erzeugende der Gruppe (G,*) ist das Element v, da mit dessen Potenzen alle anderen Gruppenelemente dargestellt werden können.


Oder müsste ich bei so etwas hinschreiben: (G,*) = <v> = <w>. Die Unterlagen geben hier auch kaum Aufschluss was für eine Form verlangt wird.
Gruppenzwang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mit dem = meinte ich Gruppe = Erzeugender. So sollen wir es auch in der Klausur beantworten. Erzeugender der Gruppe (G, *) mit den Elementen {...} = ?.


Entschuldigung das war Schwachsinn da gings nur um die Übung war zu schnell am schreiben. Da standen dann die Gruppen und danach das = und wir sollten eine mögliche Erzeugende angeben. Klausur wirds natürlich etwas anders.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wieso nicht? (A,*) mit den Elemente {1,5,2,9,a,d,n}. Eine Gruppe ist doch eine innere Verknüpfung.

Nein.
Nur weil du * schreibst hast du noch lange keine Verknüpfung.
Und eine Gruppe ist genauso wenig eine innere Verknüpfung wie es eine Menge ist, was du davor behauptet hast.
Es fehlt nach wie vor die konkrete Verknüpfung.


Ja. Nein.

Zitat:
Die Unterlagen geben hier auch kaum Aufschluss was für eine Form verlangt wird.

Die Form ist absolut egal, solange ist richtig und verständlich ist.

Deine Zwei Antwortoptionen sagen im Wesentlichen das Gleiche. Die begründung ist die Rechnung, die du vorher gemacht hast.

Zitat:
Entschuldigung das war Schwachsinn da gings nur um die Übung war zu schnell am schreiben. Da standen dann die Gruppen und danach das = und wir sollten eine mögliche Erzeugende angeben. Klausur wirds natürlich etwas anders.

Ich finde diese Argumentationskette schon immer etwas seltsam. Du übst also etwas um es dann im Ernstfall ganz anders zu machen. Wär es nicht sinnvoller das so zu üben wie es auch im Ernstfall sein soll?
Gruppenzwang Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke das mit den zyklischen und Erzeugenden habe ich eingermaßen jetzt verstanden.

Stimmt ich vergesse das so etwas wie (G,+) nicht gleich eine Gruppe ist.
Ich verstehe das mit Gruppen aber es hackt an der richtigen Definition wenn ich es erklären soll. Mal Probieren.

Zitat:
In meinen Unterlagen steht:
Eine Abbildung GxG -> G, heißt innere Verknüpfung auf G. Wir schreiben (x,y) -> x*y
und (G,*).



G x G -> G

Also das Kreuzprodukt einer Menge mit sich selbst (GxG) bildet auf die eigene Menge ab. Bzw die Tupel die bei einem Kreuzprodukt enstehen bilden auf die Elemente der Menge ab.

GxG = {(x,x) (x,y), (y,y) (y,x)}... bilden auf die Elemente x und y der Menge G ab.

Mit einer konkretten Verknüpfung sagen wir der Mulitplikation wird daraus =

(x,x) -> (Abbildung auf das Ergebnis von) x*x
(x,y) -> (Abbildung auf das Ergebnis von) x*y
(y,y) -> (Abbildung auf das Ergebnis von) y*y
(y,x) -> (Abbildung auf das Ergebnis von) y*x

Wir schreiben dann (G,*)

Danach muss ich also nur noch schauen welche Eigenschaften das erfüllt und kann dadurch sagen was es ist.

Halbgruppe = Assioziativ

Monoid = Assioziativ + neutrales Element gegeben

Gruppe = Assioziativ + neutrales Element gegeben + zu jedem x ein Inverses Element

Richtig so?
 
 
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also das Kreuzprodukt einer Menge mit sich selbst (GxG) bildet auf die eigene Menge ab. Bzw die Tupel die bei einem Kreuzprodukt enstehen bilden auf die Elemente der Menge ab.

Die Mengen und Elemente bilden nicht, sie werden von der Abbildung abgebildet.

Zitat:
GxG = {(x,x) (x,y), (y,y) (y,x)}... bilden auf die Elemente x und y der Menge G ab.

soll das heißen, dass G={x,y} ?


Zitat:
Mit einer konkretten Verknüpfung

Was ist den jetzt konkret x*x als Element von G?
Gruppenzwang Auf diesen Beitrag antworten »

ja G = {x,y}

x?
versteh jetzt nicht ganz was du meinst
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Wir scheinen verschiedene Ansichten zu haben was "konkret" bedeutet".

Und einer konkreten Abb. verstehe ich eine, wo man angeben kann was worauf die Elemente abgebildet werden.

x*x kann x sein oder auch y.

*(x,x)=x , *(x,y)=y, *(y,y)=x,*(y,x)=y
ist konkret.
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