Wahlen

22.01.2015, 16:37

Bonheur

Wahlen

Eine Volksabstimmung soll mit einfacher Mehrheit über eine Gesetzesänderung entschieden, der die rund 4 Millionen Stimmberechtigten recht gleichgültig gegenüberstehen. Allerdings ist eine relativ kleine Interessengruppe von ca. 3000 Personen wild entschlossen, gegen die Gesetzesänderung zu stimmen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit setzt die Minderheit ihren Willen durch ?

Ideen:

Es gibt insgesamt $\begin{eqnarray*} 4.000.000+3.000=4.003.000 \end{eqnarray*}$ Wähler, welche abstimmen, davon stimmen $\begin{eqnarray*} 3000 \end{eqnarray*}$ gegen die Gesetzesänderung und alle anderen verteilen ihre Stimme gleichgültig d.h. $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} 3000 \end{eqnarray*}$ gegen die Gesetzesänderung abstimmen, muss berechnet werden, wie viele Stimmen benötigt werden, um jetzt wirklich zu siegen.

$\begin{eqnarray*} \frac{4.003.000+1}{2}=2.001.501 \end{eqnarray*}$

Davon ziehen wir die Stimmen ab, die sowieso gegen die Gesetzesänderung abstimmen:

$\begin{eqnarray*} 2.001.501-3000=1.998.501 \end{eqnarray*}$

Daraus schließen wir nun, dass mindestens 1.998.501 Stimmen nötig sind, damit die kleine Intressengruppe siegt.

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 1998501)=1-P(X \leq 1998500) \end{eqnarray*}$

Lösung:
Wir berechnen zuerst die Standardabweichung und den Erwartungswert:

Standardabweichung:
$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{2.000.000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)} \approx 707.11 \end{eqnarray*}$

Erwartungswert:
$\begin{eqnarray*} 2.000.000 \cdot \frac{1}{2}=1.000.000 \end{eqnarray*}$

Diese Wahrscheinlichkeit kann man doch mit der Gauß'schen Integralfunktion berechnen:

$\begin{eqnarray*} \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{z}e^{-\frac{1}{2}t^{2}} dt \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht, wie nun weiter vorgehen muss, weil ich nicht genau weiß, wie man diese Integralfunktion anwendet.
Ich könnte dieses uneigentliche Integral ausrechnen. Ich habe den Verdacht, dass man die Funktion noch optimieren muss oder? verwirrt

Vielen Dank.

22.01.2015, 17:26

HAL 9000

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Du rechnest mit den falschen Parametern: $\begin{align*} X \end{align*}$ ist die zufällige Anzahl an Gegnern unter den $\begin{align*} n=4\,000\,000 \end{align*}$ unentschlossenen Wählern.

D.h., es ist $\begin{align*} X\sim B(n,p) \approx \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{align*}$ mit $\begin{align*} p=\frac{1}{2} \end{align*}$ sowie

$\begin{align*} \mu = np = 2\,000\,000 \end{align*}$

$\begin{align*} \sigma = \sqrt{np(1-p)} = 1\,000 \end{align*}$ .

Ansonsten gilt dann natürlich gemäß Standardisierung + Stetigkeitskorrektur

$\begin{align*} P(X\leq x) \approx \Phi\left( \frac{x+0.5-\mu}{\sigma} \right) \end{align*}$

$\begin{align*} P(X\leq 1\,998\,500) \approx \Phi\left( \frac{1\,998\,500.5 - 2\,000\,000}{1\,000} \right) \end{align*}$ .

22.01.2015, 20:49

Bonheur

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Hey HAL 9000. Wink

Verstehe.

Dank dir, habe ich erkannt, wo mein Denkfehler war. smile

Somit folgt:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 1\,998\,500) \approx \Phi\left( \frac{1\,998\,500.5 - 2\,000\,000}{1\,000} \right)=\Phi\left(-1.4995\right)=1-\Phi(1.4995)=1-0.9192=0.0808 \end{eqnarray*}$

Ich habe diesen Wert: $\begin{eqnarray*} \Phi(1.4995) \end{eqnarray*}$ aus der Tabelle heraus gelesen.

Könnte man diesen Wert bzw. diese Wahrscheinlichkeit berechnen ?
Ich hatte versucht, die Integralfunktion zu integrieren, ist mir allerdings nicht gelungen.

23.01.2015, 08:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bonheur
Ich hatte versucht, die Integralfunktion zu integrieren, ist mir allerdings nicht gelungen.

Damit weißt du jetzt auch, warum diese Funktion tabelliert wird. Augenzwinkern

Übrigens, nicht vergessen (d.h. nochmal die Rechnung durchgehen): Die berechneten 0.0808 sind die Gegenwahrscheinlichkeit (!) zum eigentlich gesuchten Ereignis.

24.01.2015, 03:24

opi

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Zitat:

Original von Bonheur
Ich habe diesen Wert: $\begin{eqnarray*} \Phi(1.4995) \end{eqnarray*}$ aus der Tabelle heraus gelesen.

Dann bist Du beim Ablesen anscheinend in der Tabelle verrutscht, bitte noch einmal nachschauen. smile

Meine Tabelle liefert $\begin{eqnarray*} \Phi(1{,}50)=0{,}9332 \end{eqnarray*}$

24.01.2015, 16:15

Bonheur

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Alles verstanden.

Ich möchte mich herzlich bei euch bedanken. Wink

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