Differenzialgleichung

22.01.2015, 18:38

ThreeJay

Differenzialgleichung

Hallo zusammen,

ich soll die folgende Differenzialgleichung lösen:
$\begin{eqnarray*} y^{'}+\frac{y}{1+x}=e^{2x} \end{eqnarray*}$

Ich habe die Aufgabe folgendermaßen berechnet:

$\begin{eqnarray*} y_{h}=c\cdot e^{\int_0^t \! f(t^{'}) \, dt^{'}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{h}=c\cdot e^{\int_0^x \! \frac{1}{1+x} \, dx^{'}}=c\cdot e^{-\ln(1+x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=C(x)\cdot e^{-\ln(1+x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-\ln(1+x)}[C^{'}(x)+C(x)\frac{1}{1+x}-C(x)\frac{1}{1+x}]=e^{2x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C^{'}(x)=\frac{e^{2x}}{e^{-\ln(1+x)}}=e^{2x+\ln(1+x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C(x)=\int \! e^{2x+\ln(1+x)} \, dx=\frac{1}{2+\frac{1}{1+x}}e^{2x+\ln(1+x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2+\frac{1}{1+x}}\cdot e^{2x+\ln(1+x)}\cdot e^{-\ln(1+x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\frac{1+x}{3+2x}\cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich allerding mein Ergebnis in die Differenzialgleichung einsetze, kommt nicht das richtige Ergebnis raus. Könnte mir bitte jemand sagen an welcher Stelle ich mich verrechnet habe und wie der richtige Rechenweg aussieht.

Für Eure Antworten bedanke ich mich im Voraus recht herzlich.
LG ThreeJay

22.01.2015, 18:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von ThreeJay
$\begin{eqnarray*} C(x)=\int \! e^{2x+\ln(1+x)} \, dx=\frac{1}{2+\frac{1}{1+x}}e^{2x+\ln(1+x)} \end{eqnarray*}$

Diese Integration ist völlig misslungen. unglücklich

Es ist bemerkenswert, wie lange du diese $\begin{align*} e^{-\ln(1+x)} \end{align*}$ -Terme durch die Gegend schleifst, statt einfach nur $\begin{align*} \frac{1}{1+x} \end{align*}$ dafür zu schreiben. Augenzwinkern

In dem Zusammenhang: Es ist dann auch

$\begin{align*} C(x) = \int (1+x)e^{2x} ~ \dd x \end{align*}$ ,

vielleicht erleichtert das dir den Zugang zur Integration.

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