Partialbruch ist Funktion selbst ?

22.01.2015, 21:36

Gnob

Partialbruch ist Funktion selbst ?

Guten Abend,

es ist das Integral von 0 bis -4 bei folgender Funktion gesucht.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{7}{(3x-2)²} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich die Partialbruchzerlegung mal angesetzt, ich komme nach kompletter Rechnung auf folgenden Partialbruch :

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{7}{(3x-2)²} \end{eqnarray*}$ ,
sprich genau der selbe wie die Funktion. Weil A = 0 ergab und B = 7.

Das scheint auch soweit zu stimmen laut Onlinerechner.
Leider steht das Integral welches man nun noch brauch nicht in der Lösung, und ich habe keine Ahnung wie ich dieses Konstrukt integrieren soll.
Das mit dem ln funktioniert hier ja nicht mehr so einfach, da im Nenner Grad 2 auftaucht. Zudem ist es komisch das eben die Funktion der Partialbruch selbst ist.

22.01.2015, 21:39

10001000Nick1

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Ich würde hier eher eine Substitution verwenden. smile

22.01.2015, 21:57

Gnob

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Du würdest also , Z = (3x-2) substituieren ?

Für mich sah das von der Funktion her nach Partialbruch aus . Also dachte ich mir, dass es auch damit ginge.
Zumal die Frage auch ist, wie man denn das so schnell sieht was besser ist. Weil es halt auch immer eine Zeitfrage ist bei solchen Aufgaben.

22.01.2015, 22:06

10001000Nick1

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Partialbruchzerlegung geht hier, denke ich, nicht.
Wenn einem solch eine einfache Substitution dermaßen ins Auge springt wie hier, dann würde ich immer die Substitution vorziehen.
(Allerdings bin ich sowieso kein Freund von Partialbruchzerlegung; das versuche ich immer zu vermeiden. Augenzwinkern

)

22.01.2015, 23:12

Guppi12

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Kleiner Einwurf: Partialbruchzerlegung liefert einem eine Art von Normalform von rationalen Funktionen, die in einem gewissen Sinne auch eindeutig ist. Diese rationale Funktion hier befindet sich bereits in dieser Normalform, deswegen tut sich da nicht mehr viel Augenzwinkern

22.01.2015, 23:55

Gnob

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Zitat:

Original von Guppi12
Kleiner Einwurf: Partialbruchzerlegung liefert einem eine Art von Normalform von rationalen Funktionen, die in einem gewissen Sinne auch eindeutig ist. Diese rationale Funktion hier befindet sich bereits in dieser Normalform, deswegen tut sich da nicht mehr viel Augenzwinkern

Also mittels Substition habe ich es nun rausbekommen Freude

.

Aber mich würde noch interessieren woran man denn diese "Art Normalform" von rationalen Funktionen erkennt ? Denn den Fehler möchte ich nicht nochmal machen und auch was für die zukunft daraus mitnehmen.

23.01.2015, 00:51

Guppi12

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Hier mal die reelle Version:

Mittels Partialbruch zerlegung erhält man:

1. Summanden der Art $\begin{eqnarray*} \frac{a}{(x-b)^k} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl ist und $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ reelle Zahlen.

2. Summanden der Art $\begin{eqnarray*} \frac{ax+b}{(cx^2+dx+e)^k} \end{eqnarray*}$ wobei hier das Nennerpolynom keine Nullstelle hat. Dabei ist wieder $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ natürlich und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e \end{eqnarray*}$ reell.

Besteht die Funktion bereits aus Summanden dieser Art, ändert die PBZ da auch nichts mehr dran.

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