Finde invertierbare Matrix T und Diagonalmatrix C`, sodass... (Teil 2)

22.01.2015, 21:52

Widderchen

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Finde invertierbare Matrix T und Diagonalmatrix C`, sodass... (Teil 2)

Meine Frage:
Hallo,

es seien
$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 2 & i & 1 \\ -i & 1 & -i \\ 1 & i & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C = \begin{pmatrix} 2 & i & 1 \\ -i & -1 & i \\ 1 & -i & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Finden Sie eine invertierbare Matrix T und eine Diagonalmatrix C´, sodass
$\begin{eqnarray*} T ^{\dagger} B T = 1_{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T^{\dagger} C T = C \` \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich vermute mal, ich soll (ähnlich wie in einem anderen geschilderten Fall) zunächst die Eigenwerte durch Lösen des charakteristischen Polynoms (Nullstellen untersuchen) ermitteln, anschließend die Eigenräume zu den jeweiligen Eigenwerten berechnen,... Beschreibe ich das Verfahren soweit richtig oder muss ich bei der Lösung solcher Aufgaben noch irgendetwas berücksichtigen??

Viele Grüße
Widderchen

23.01.2015, 14:13

Widderchen

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Hallo,

ist das so von mir beschriebene Verfahren zur Ermittlung von T korrekt oder muss noch etwas berücksichtigt werden???

Widderchen

25.01.2015, 13:40

Widderchen

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Zunächst habe ich hier analog zum vorher gelösten Fall mit einer Matrix mit reellen Einträgen das charakteristische Polynom aufgestellt.

Ich erhalte hier $\begin{eqnarray*} p(\lambda) = - \lambda^3 + 6 \lambda^2 - 11 \lambda + 2 \end{eqnarray*}$

Allerdings lauten die Nulstellen dieses Polynoms

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0,20368... \end{eqnarray*}$ und noch zwei weitere komplexe Nullstellen.

Ich tippe erneut auf einen Rechenfehler, da hier offenbar "verträgliche" Eigenwerte [womöglich ganzzahlige Eigenwerte) herauskommen sollten.

Kann mir irgendjemand behilflich sein?

Viele Grüße und einen schönen Sonntag

Widderchen

25.01.2015, 17:16

GuntherGeier

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Deine -11 muss scheinbar (laut Maple) eine -8 sein. Du kannst auch zur Kontrolle folgenden Online-Rechner nutzen:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip..._eigenwert2.htm

25.01.2015, 18:24

Widderchen

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Ah, ja natürlich! Hammer

Hammer

Aber das Polynom besitzt dann immer noch irrationale Nullstellen wie 0,32487... , .... etc. Das kann nicht sein, es sollten schon ganzzahlige Nullstellen herauskommen, sonst wäre das Berechnen der Eigenvektoren ein wenig unangenehm. Ich behaupte nicht, dass dies nicht die falschen Nullstellen sein müssen. Der Aufgabensteller hat aber durchaus berücksichtigt, dass "sinnvolle" Eigenwerte das Resultat sein sollten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hmm... offenbar ist das Polynom immer noch falsch. Bist du dir sicher, dass nur die -11 durch eine -8 ersetzt werden muss??

Viele Grüße
Widderchen

25.01.2015, 20:35

GuntherGeier

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Naja, ich habe die Matrix in zwei verschiedene Software-Pakete (Maple und den Online-Rechner) eingegeben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Versuchs doch selbst einmal ...

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25.01.2015, 21:32

Widderchen

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Hallo,

also Arndt Brünners Online-Rechner gibt mir folgende Eigenwerte und auch Eigenvektoren zu den Eigenwerten (!) an:

Characteristic Polynomial:
-x^3 + 6x^2 - 8x + 2

Real Eigenvalues: { 0.32486912943335394 ; 1.460811127189111 ; 4.214319743377534 }

Eigenvectors:

for Eigenvalue 0.32486912943335394:
[ 2.4811943040920132 ; 5.156325174658659î ; 1 ]

for Eigenvalue 1.460811127189111:
[ -1.1700864866260339 ; 0.3691023861848556î ; 1 ]

for Eigenvalue 4.214319743377534:
[ 0.6888921825340184 ; -0.5254275608435174î ; 1 ]

Das charakteristische Polynom der Matrix C in der Problemstellung besitzt ebenfalls merkwürdige irrationale Nullstellen (sprich: Eigenwerte) . Sind die zweiten Komponenten der Eigenvektoren rein-imaginär???

Nun muss ich doch eine Orthonormalbasis erzeugen, da die oben geannten Vektoren keine Orthonomalbasis bilden. Das wird ein enormer Rechenaufwand!

Moment mal, ich muss doch eine gemeinsame Basis finden, sodass diese Eigenvektoren sowohl von B als auch von C sind. Ich hänge gleich noch die Eigenvektoren bzgl. der Matrix C an!

25.01.2015, 21:38

Widderchen

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So, hier noch die Lösung zur Matrix C:

Characteristic Polynomial:
-x^3 + 2x^2 + 4x - 6

Real Eigenvalues: { -1.8661982625090228 ; 1.2107558809591916 ; 2.655442381549831 }

Eigenvectors:

for Eigenvalue -1.8661982625090228:
[ -0.7945007691724424 ; -2.071697493336579î ; 1 ]

for Eigenvalue 1.2107558809591916:
[ -0.44110477192118 ; 0.6518606528803716î ; 1 ]

for Eigenvalue 2.655442381549831:
[ 1.9022722077602876 ; -0.24682982621045807î ; 1 ]

Ich denke, hier geht es um das Prinzip der simultanen Diagonalisierung, allerdings erkenne ich keine Auffälligkeiten zwischen den linear unabhängigen Eigenvektoren bzgl. C und bzgl. B, sodass ich mir meine Basis zusammenstellen kann.

An dieser Stelle weiß ich nicht weiter.

Viele Grüße
Widderchen

25.01.2015, 22:03

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B und C sind hermitesch, müssen also reelle EW haben.
Da die Produkte BC und CB verschieden sind, sehe ich nicht, warum B und C gemeinsam diagonalisierbar sein sollen.
Die Gleichung T*BT=I hat auch nichts mit diagonalisierung zu tun, sonst müssten rechts die EW von B auftauchen.

Edit: multipliziere $\begin{eqnarray*} T^*CT=C' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (T^*BT)^{-1}=E \end{eqnarray*}$ . Vielleicht führt das auf eine Spur

25.01.2015, 22:25

Widderchen

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Hallo,

also bedeutet die Bedingung $\begin{eqnarray*} T^{\dagger}BT = 1_{3} \end{eqnarray*}$ analog zum vorigen Problem, dass ich eine Orthonormalbasis mit dem Gram-Schmidt-Verfahren konstruieren , sowie die Eigenvektoren nomieren muss.

Ja, ich hatte auch herausgefunden, dass das Matrizenprodukt nicht kommutativ ist und damit die beiden Matrizen nicht simultan diagonalisierbar sein können.

Ah, Moment! Ich muss solange paarweise Spaltenoperationen und Zeilenoperationen auf B ausführen , bis ich die Einheitsmatrix erhalte. Dabei muss ich - wenn ich mich nicht irre - zusätzlich die Operation mit der komplex-konjugierten OPeration ausführen.

Ich hoffe, ich habe das verständlich formuliert, ansonsten weiß ich an dieser Stelle auch nicht weiter.

Viele Grüße
Widderchen

25.01.2015, 22:28

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Hast du meinen Edit gelesen?

26.01.2015, 16:02

Widderchen

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Hallo,

also gesucht ist eine invertierbare Matrix T derart, sodass

$\begin{eqnarray*} T^{\dagger}BT = 1_{3} \end{eqnarray*}$ gilt. Dies erfolgt durch geeigete Zeilen- und Spaltenoperationen, da die Rechtsmultiplikation mit T den Spaltenoperationen auf B und der Linksmutliplikation mit $\begin{eqnarray*} T^{\dagger} \end{eqnarray*}$ den Zeilenoperationen auf B entsprechen.

allerdings weiß ich noch nicht, wie diese Operationen exakt aussehen. Kann mir irgendjemand behilflich sein?

Viele Grüße
Widderchen

26.01.2015, 21:36

Widderchen

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Warum sollte ich die Einheitsmatrix mit $\begin{eqnarray*} T^{dagger}CT \end{eqnarray*}$ multiplizieren, da kommt doch dasselbe heraus. verwirrt

verwirrt

Ich habe zunächst ein T ermittelt, dass die erste Bedingung $\begin{eqnarray*} T^{dagger}BT = 1_{3} \end{eqnarray*}$ erfüllt. Sie lautet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/{\sqrt{2}} & 1/{\sqrt{2}} & 2/{\sqrt{8}} \\ 0 & \sqrt{2}i & 2/{\sqrt{8}}i \\ 0 & 0 & 2/{\sqrt{8}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hoffentlich stimmt das. Ob dieses T auch die andere Gleichung erfüllt, weiß ich nicht!

Viele Grüße
Widderchen

27.01.2015, 00:40

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$\begin{eqnarray*} C'=E C' = (T^*BT)^{-1} T^*CT = T^{-1}B^{-1} C T \end{eqnarray*}$ .
Also sind die Spalten von T notwendigerweise Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} B^{-1} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C' \end{eqnarray*}$ enthält die passenden Eigenwerte.

27.01.2015, 17:28

Widderchen

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Moment ,

heißt diese Gleichung nun, dass ich T erhalte, indem ich die die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

$\begin{eqnarray*} B^{-1}C \end{eqnarray*}$ ermittle??? Dann sind die Eigenvektoren bzgl. dieser Eigenwerte die Spalten von T.

Aber ich wäre unter keinen Umständen zu diesem Ansatz gekommen. unglücklich

unglücklich

Für die Matrix $\begin{eqnarray*} B^{-1}C \end{eqnarray*}$ erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2i & 2 \\ 0 & -3 & 4i \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Eigenwerte lauten 1 und -3 , wobei 1 die algebraische Vielfachheit 2 besitzt.

Wenn ich nun richtig gerechnet habe, dann lautet ein möglicher Eigenvektor zum Eigenraum E(-3):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -0,5 i \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und zum Eigenraum E(1):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit lautet die Matrix T:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -0,5 i \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ist das so korrekt?? Vielen Dank für deine Hilfe soweit, URL.

Widderchen

27.01.2015, 19:47

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Zitat:

heißt diese Gleichung nun, dass ich T erhalte, indem ich die die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
$\begin{eqnarray*} B^{-1}C \end{eqnarray*}$ ermittle??? Dann sind die Eigenvektoren bzgl. dieser Eigenwerte die Spalten von T.

Es gibt nicht die Eigenvektoren bzgl. dieser Eigenwerte. Dementsprechend heißt es auch nur, dass die Spalten von T sicher Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} B^{-1}C \end{eqnarray*}$ sind. Welche Eigenvektoren es sind, ist hier noch nicht klar. Aber zumindest hat man jetzt eine Idee, wo man suchen muss. Der Ansatz ist alles andere als schön, aber mir fällt nichts besseres ein unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} B^{-1}C \end{eqnarray*}$ und die Eigenvektoren sind richtig, nur $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\- i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein.

27.01.2015, 19:57

Widderchen

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Hallo,

stimmt, nochmals vielen Dank für deine Mühe, URL.

Viele Grüße
Widderchen

27.01.2015, 20:05

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Dir ist aber schon klar, dass auch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -0,5 i \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 &- i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht die gesuchte Matrix ist?

27.01.2015, 21:22

Widderchen

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Ja, aber ich habe mit dieser Matrix die Matrizenprodukte gebildet und es kam etwas vernünftiges dabei heraus.

Ich dachte, dass durch die von dir gezeigte Gleichung das T ganz bequem ermittelt werden kann.
Meintest du mit dem Operator * denn nicht die Adjunkte der Matrix T ...oder nur die Transponierte von T ?

Was muss ich denn noch berücksichtigen? Ich bin verwirrt.

verwirrt

27.01.2015, 21:42

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Wenn dir das klar war, passt das schon. Von hier aus ist auch nur noch ein kleiner Schritt zu machen. T* ist die adjungierte, also transponiert und komplex konjugiert.

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