Basis eines Vektorraums in Abhängikeit einer Variablen bestimmen

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and_24 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines Vektorraums in Abhängikeit einer Variablen bestimmen
Hallo zusammen,

ich habe ein kleines Verständnisproblem bei der Bestimmung der Basis eines Vekorraums, konkret handelt es sich um folgende Aufgabenstellung:

Geben Sie alle a aus R an, für die die Vektoren (a; a; 0); (1; a; 2); (0; 1; 1) aus R3 eine Basis von R3 bilden.

Koeffizientenmatrix:
a 1 0
a a 1
0 2 1

Umformung: (II - I)

a 1 0
0 a-1 1
0 2 1

Also kann ich a = 0 und a = 3 schonmal ausschließen, allerdings eignet sich das Ausschlussprinzip nicht sonderlich gut bei der Aufgabenstellung. Kann mir hier jemand nen Tipp geben wie ich weiter vorgehen kann, bzw wie ich sicherstelle, dass ich keinen linear unabhängigen Vektor übersehe?

Vielen Dank schonmal
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

am einfachsten ist es,

zu berechnen. Und A hat den Rang 3 wenn ist.
and_24 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Darf ich dich nochmal kurz beanspruchen ob ich den Zusammenhang richtig verstanden hab
Die Determinante gibt mir Auskunft über die Invertierbarkeit der Koeffizientenmatrix, ist diese invertierbar, bilden die Spaltenvektoren eine Basis des R3. Somit bilden alle a aus R eine Basis solange a^2 - 3a 0 ist?
GuntherGeier Auf diesen Beitrag antworten »

Die a aus können keine Basis bilden, sondern höchstens die entsprechenden Spaltenvektoren, die man für gewisse a erhält. Augenzwinkern
and_24 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis, dass hatte ich gemeint, aber missverständlich geschrieben smile
GuntherG Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ja, wenn die Determinante der Matrix A ungleich null ist
+bilden die Spaltenvektoren und Zeilenvektoren eine Basis
+ist die Matrix A invertierbar
+hat die Inverse die Determinante 1/detA
+hat das Gleichungssystem Ax=0 nur die triviale Lösung
 
 
and_24 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch an Dich nochmal ein Dankeschön, der Zusammenhang Basis und det ist angekommen Freude
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