Wahrscheinlichkeit höchstens eine Nachricht

23.01.2015, 13:09	Meena94	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit höchstens eine Nachricht Meine Frage: Hallo zusammen, folgende Frage zu folgender Aufgabe: Im Mittel bekomme ich vier Nachrichten zwischen 10 und 11 Uhr. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich an einem konkreten Tag höchstens eine Nachricht in diesem Zeitraum bekomme? Meine Ideen: Ich glaube, dass es sich um den Ansatz einer Poisson-Verteilung handelt. Demnach würde ich die Formel $\begin{eqnarray} e^{-\lambda } \sum\limits_{k=0}^n \frac{\lambda^{k} }{k!} \end{eqnarray}$ benutzen. Eingesetzt würde das ganze meiner Meinung nach so aussehen: $\begin{eqnarray} e^{-4} \sum\limits_{k=0}^1 \frac{4^{k} }{k!} \end{eqnarray}$ Als Lösung dafür erhalte ich dann 0,091578..., also ca. 9,16%. Liege ich mit meiner Annahme richtig, dass die Aufgabe so gelöst wird?
23.01.2015, 13:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, alles völlig korrekt.
23.01.2015, 13:26	Meena94	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Kann ich bei dieser Aufgabe genau so verfahren? Ich warte immer an einer viel befahrenen Straße (ohne Ampel), die ich überqueren muss. Normalerweise warte ich im Mittel 4 Minuten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich an einem bestimmten Tag 6 Minuten warten muss? Also, das würde dann so aussehen: $\begin{eqnarray} e^{-4} \sum\limits_{k=0}^6 \frac{4^{k} }{k!} \end{eqnarray}$ Da würde ich dann auf eine Wahrscheinlichkeit von ca. 88,93% kommen.
23.01.2015, 14:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, das wäre eine Rechung entsprechend einem zeitdiskreten Modell, d.h., dass man nur zu festen Minutenzeitpunkten die Straße überqueren darf. Und außerdem berechnest du da, dass man maximal 6 Minuten warten muss. Ich deute die Fragestellung aber eher im Sinne mindestens 6 Minuten. Für diese Situation scheint mir aber ein zeitstetiges Modell angemessener, und da passt eine exponentialverteilte Wartezeit $\begin{align} T \end{align}$ (in Minuten) für die vorliegende Situation, d.h. $\begin{align} T\sim \operatorname{Exp}(\lambda) \end{align}$ - Aus dem Erwartungswert $\begin{align} E(T)=\frac{1}{\lambda} = 4 \end{align}$ lässt sich $\begin{align} \lambda \end{align}$ bestimmen, und gesucht wäre dann $\begin{align} P(T\geq 6) \end{align}$ .
23.01.2015, 14:40	Meena94	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann müsste $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{1} {4} \end{eqnarray}$ sein. Und dazu muss ich dann $\begin{eqnarray} P(X > 6 ) \end{eqnarray}$ bestimmen. Diese Zahlen muss ich dann einfach in $\begin{eqnarray} e^{-\lambda x} \end{eqnarray}$ einsetzen und erhalten dann eine Wahrscheinlichkeit von ca. 22,31% ?

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