Eigenwerte im komplexen Körper

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Frosi Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte im komplexen Körper
Hallo liebe Genies hier Big Laugh

Ich habe eine Aufgabe vorliegen, die ich schon fast komplett gelöst habe - nur fehlt mir beim zweiten Teil der Denkanstoß.

Gefragt war folgendes:

Bestimmen Sie die Eigenwerte und finden Sie Basen der zugehörigen Eigenräume für die durch folgende Matrizen gegebenen Endomorphismen des K^3



1) Im Fall

2) Im Fall K = C ( C ist Körper der komplexen Zahlen)







Fall 1) Habe ich bereits abgeschlossen . A und B hat Eigenwerte , wobei nur A dann auch Eigenwerte C hatte, nämlich:



wobei natürlich nur zu C gehören.


Meine Frage ist nun: kann ich nun einfach mit den so weiterreichen, wie ich es mit einem reellen Eigenwert tun würde?

also mit :


Würde ich so korrekt vorgehen? Ich würde dann einfach auch dort geeignete Basen finden!

Vielen Dank für eure tolle Hilfe !!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eigenräume zu den echt-komplexen Eigenwerte findest du wie gewohnt, da hast du Recht.

Aber !
Frosi Auf diesen Beitrag antworten »

erst einmal danke für die super schnelle Antwort smile
Und ja klar, man war ich doof in dem Moment, 0 gehört natürlich zu C Hammer

Also ich habe jetzt jeweils zu



beides eingesetzt und kam in beiden Fällen auf einen Eigenvektor des Ergebnis des Nullvektors





( und

Ich erhielt:






Wobei Eig für den Eigenvektor steht.

Ich glaube nicht, dass ich mich verrechnet habe - kann ich dann also hier annehmen, dass in diesem speziellen Fall sich die Basis der Eigenvektoren nicht geändert hat? Es bleibt ja dann nur noch der Eigenvektor der Eigenwerts , den ich aus Aufgabe 1) schon habe.

Oder verstehe ich es gerade falsch, dass triviale Eigenvektoren nicht anerkannt werden zur Basis ?

Allerbesten Dank an dich, wirklich!!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es nicht nachgerechnet, aber laut Definition eines Eigenwertes existiert ein nicht-trivialer Eigenvektor. D.h. du hast dich beim Eigenwert oder bei den Eigenvektoren verrechnet.

Ich würde auf letzteres tippen, weil das etwas seltsam aussieht:
Du suchst x mit .

Bedenke dabei, dass x ein komplexer Vektor ist -- d.h. wenn du Real- und Imaginärteile getrennt hast um auf deine Ergebnisse zu kommen, kommt natürlich nur 0 raus. (Reelle Matrix mal reeller Vektor = komplexer Eigenwert mal reeller Vektor wäre auch arg seltsam)
Frosi Auf diesen Beitrag antworten »

Man bin ich ein schlaues Mädchen heute wieder! verwirrt

Ich habe nochmal geprüft, ob die Eigenwerte eventuell falsch sind, und komme immer noch auf:
wo dann natürlich als werte böse


Ich schreibe jetzt einfach einmal auf, wie ich es gerade neu gerechnet habe smile Vielleicht finden wir dann schnell m/keinen Fehler:




Daraus folgt:



Ich löse die dritte Gleichung auf und erhalte:

in die zweite:



In die erste Gleichung:


= frei wählbar!

mein Eigenvektor ist also: C *




Mache ich hier was falsch? Gott
Was für ein doofer Zufall natürlich, dass sich mein Flüchtigkeitsfehler gleich zum Nullvektor entwickelt hat!

Danke für deine Hilfe smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es einen Grund, warum du nicht einfach durch 3 ersetzt?

Aber sieht richtig aus Freude

Und es ist nicht wirklich ein Zufall, dass du nur die 0 als "falschen" Eigenwert bekommen hast. Falls kein Eigenwert ist, so ist . Damit ist invertierbar und insbesondere ist . D.h. es folgt unweigerlich, dass dann die einzige Lösung des Systems die 0 ist.

D.h. wenn man zuversichtlich in die Rechnung ist, so folgt unweigerlich, dass kein Eigenwert war.
 
 
Frosi Auf diesen Beitrag antworten »

Soooo alles schön aufgeschrieben und ich kann es meinem Tutor dann zum Fraß vorwerfen, hehe. Hab das jetzt dank dir sogar besser verstanden als in der Vorlesung!

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe IfindU!!! Gott

PS: natürlich gab es einen Grund warum ich nicht einfach die Wurzel aus 9 gezogen hab: Dummheit! Prost
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne Wink

Und da du vorher hattest, hattest du wohl das richtige im Kopf, bloss da ist bisschen was durcheinander gekommen. Aus und wurde dann nämlich Augenzwinkern
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