Lebesgue Konstante bei der Polynominterpolation

23.01.2015, 16:12	Dom82	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue Konstante bei der Polynominterpolation Meine Frage: Hallo Leute, ich habe eine Frage zu Lebesgue-Konstante $\begin{eqnarray} \Lambda_{n}\left(\boldsymbol{\chi}\right) \end{eqnarray}$ , mit deren Hilfe man den größten Fehler zwischen einem Interpolant $\begin{eqnarray} p\left(\boldsymbol{x}\right) \end{eqnarray}$ und einer zu Interpolierenden Funktion $\begin{eqnarray} f\left(\boldsymbol{x}\right) \end{eqnarray}$ abschätzen kann. Im Folgenden ist $\begin{eqnarray} p^{\ast}\left(\boldsymbol{x}\right) \end{eqnarray}$ das optimale Interpolationspolynom. Ich habe mir diese Abschätzungen überlegt und im Idealfall stimmen sie auch :-). Meine Frage lautet: Warum wird bei der Definition der Lebesgue-Konstante immer Vorausgesetzt, dass die Funtion $\begin{eqnarray} f\left(\boldsymbol{x}\right) \end{eqnarray}$ stetig ist? Das wird doch bei der Herleitung, meine ich, gar nicht benutzt. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} <br /> \left\|p\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\|&=\left\|p\left(\boldsymbol{x}\right)-p^{\ast}\left(\boldsymbol{x}\right)+p^{\ast}\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{x}\right) \right\|\\<br /> &\leq \left\|p\left(\boldsymbol{x}\right)-p^{\ast}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\|+\left\|p^{\ast}\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{x}\right) \right\|\\<br /> &=\left\|\sum \limits_{l=1}^{n}\left(f\left(\boldsymbol{\chi_{l}}\right)-p^{\ast}\left(\boldsymbol{\chi_{l}}\right)\right)\varsigma_{l}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\|+\left\| p^{\ast}\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{x}\right) \right\|\\<br /> &\leq \sum \limits_{l=1}^{n}\left\|\left(f\left(\boldsymbol{\chi_{l}}\right)-p^{\ast}\left(\boldsymbol{\chi_{l}}\right)\right)\left\|\cdot \right\|\varsigma_{l}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\|+\left\|p^{\ast}\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{x}\right) \right\|\\<br /> &\leq \left\\|\left(p^{\ast}\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\right\\|_{\infty} \sum \limits_{l=1}^{n}\left\|\varsigma_{l}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\|+\left\|p^{\ast}\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{x}\right) \right\|\\<br /> &\leq \left\\|\left(p^{\ast}\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\right\\|_{\infty} \left\\|\sum \limits_{l=1}^{n}\left\|\varsigma_{l}\left(\boldsymbol{x}\right)\right\|\right\\|_{\infty}+\left\\|p^{\ast}\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{x}\right) \right\\|_{\infty}\\<br /> &=\left(1+ \Lambda_{n}\left(\boldsymbol{\chi}\right)\right)\left\\|p^{\ast}\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{x}\right) \right\\|_{\infty}.<br /> \end{eqnarray}$ Und deshalb ist $\begin{eqnarray} \left\\|p\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\\|_{\infty}<br /> \leq \left(1+ \Lambda_{n}\left(\boldsymbol{\chi}\right)\right)\left\\|p^{\ast}\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{x}\right) \right\\|_{\infty} \end{eqnarray}$ Bei der dritten Zeile habe ich ausgenutzt, dass jedes Polynom vom Grad kleiner $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sein eigenes Interpolationspolyom mit selbem Grad ist. Außerdem wurde benutzt, dass der Lagarange interpolant $\begin{eqnarray} p\left(\boldsymbol{x}\right) \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \sum\limits_{l=1}^{n}f\left(\boldsymbol{\chi_{l}}\right)\varsigma_{l}\left(\boldsymbol{x}\right) \end{eqnarray}$ ist, wobei $\begin{eqnarray} \varsigma_{l}\left(\boldsymbol{x}\right) \end{eqnarray}$ die Lagrange Polynome sind.
23.01.2015, 16:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lebesgue Konstante bei der Polynominterpolation Sieht gut aus. Und $\begin{eqnarray} \Lambda_n(\chi) \end{eqnarray}$ hängt von dem Raum ab den du betrachtest. Er gibt an wie groß der Fehler sein kann, wenn man Funktionen durch Polynome interpoliert. Lässt man Stetigkeit fallen, kann es sehr gut sein, dass $\begin{eqnarray} \Lambda_n(\chi) = \infty \end{eqnarray}$ .
23.01.2015, 16:49	Dom82	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für Deine schnelle Antwort. Wir wäre es denn mit dem Raum der Riemann integrierbaren Funktionen? Die sind doch auf einem kompakten Intervall beschränkt. Ich überlege gerade, ob ich eine nicht stetige, Riemann integrierbare Funktion kenne, bei der die Konstante für gegebene Stützwerte unendlich groß sein kann. Bis jetzt ist mir noch keine eingefallen.
23.01.2015, 17:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Für beschränkte Funktionen fällt mir jetzt auch nichts ein. Es könnte gut sein, dass es auch da beschränkt bleibt.

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