Differenzialrechnung

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Susuuuu Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzialrechnung
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu einer Funktion.
Und zwar soll ich hier die Extremstellen bestimmen. Allerdings ist hier bei dem x-Wert=0 die erste Ableitung null, aber die zweite und die dritte auch.

Es handelt sich um folgende Funktion:
f(x)=1/5x^5+1/4x^4



Meine Ideen:
D.h. ich kann Extrempunkt ausschließen. Dann habe ich an einen Sattelpunkt gedacht, aber das kann ich ja auch ausschließen, da die dritte Ableitung ja auch null ist.
Meine Frage: Was ist denn das dann für ein Punkt?

Laut meinem Lehrer ist es dann ein Extrempunkt, stimmt das?
Und wenn ja, warum?

Vielen Dank schonmal.

Liebe Grüße
gast2401 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialrechnung
Dieses Kriterium lässt sich verallgemeinern: Gilt für ein



sind also die ersten 2n Ableitungen gleich 0 und die (2n+1)-te Ableitung ungleich 0, so hat der Graph von f bei x_0 einen Sattelpunkt.

Die genannte Bedingung ist allerdings nicht notwendig. Auch wenn ein Sattelpunkt an der Stelle x_0 vorhanden ist, können alle Ableitungen f^{(n)}(x_0) gleich 0 sein.


Quelle: wikipedia "Sattelpunkt"
Susuuuu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialrechnung
Okaaay, und was heißt das im Klartext?

Ich hab das jetzt so verstanden als dass es kein Sattelpunkt ist. Aber was ist es dann?

Sorry, ich steh grad auf dem Schlauch.
mahack Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialrechnung
Um dir eine etwas späte Antwort auf die Frage zu geben:

(I)

(III) | ausklammern

(II)


Was du also sagen kannst, ist:
- Die Funktion f(x) hat theoretisch 4 Extremwerte, da f'(x) = 0 sein soll und der Grad der Ableitung 4 ist. Da bei (II) 0 als dreifache Nullstelle auftaucht, bleiben 2 Extremwerte übrig: x1=0 , x2=(-1)

Weiter geht's mit höheren Ableitungen. Und zwar so lange, bis die Funktion an der Nullstelle nicht mehr Null wird. Woran erkennt man das am schnellsten? Im Fall [betrachtete Nullstelle] = 0 muss man (hier) nur schauen, bei der wievielten Ableitung eine Zahl ohne den Faktor x addiert wird.

Ausprobieren: (III) ableiten:





So weit lernt man es normalerweise in der Schule. Bis zu diesem Punkt kannst du lediglich sagen:
Die Funktion hat bei x1=0 ein Extremum, da f'(x)=0.
Die Funktion hat bei x1=0 vielleicht einen Wendepunkt, da f''(x)=0.

Die dritte Ableitung bringt dir dabei nicht viel, weil sie ja 0 ist. Du kannst genau genommen nur daraus schließen, dass du noch keinen Beweis für einen Sattelpunkt hast.

Wenn du an einer Lösung interessiert bist geht das ganz einfach, indem du weiter ableitest (wird ja eh nicht schwieriger):

(IV)

... Und siehe da plötzlich steht da eine +6, somit kann nicht mehr 0 werden.

Jetzt machst du genau das, was du normalerweise machen würdest, wenn du bei f''(0) keine Null im Ergebnis vorgefunden hättest, nur eben mit (IV).

und somit: relatives Minimum.

-------------------------------------
Das Prinzip(ugs.):
Die Ableitung, bei der die Nullstelle von f(x) eingesetzt zuerst nicht mehr 0 als Ergebnis liefert wird betrachtet. Ist die Vielfachheit (erste, zweite, dritte, 4-te, 5-te, n-te Ableitung) dieser Ableitung ungerade, liegt ein Sattelpunkt vor. Ist sie gerade, wird mit dieser Funktion der größer/kleiner 0 - Vergleich für das Finden von Maximum/Minimum durchgezogen.An Schulen werden in der Regel Funktionen verwendet, die spätestens bei der 3. Ableitung nicht mehr 0 werden.
-------------------------------------

Ich habe dir den Graphen der o.g. Funktion f(x) angehängt. Ein Sattelpunkt ist daran zu erkennen, dass die Kurve (umgangssprachlich ausgedrückt) links und rechts in verschiedene Richtungen geht. Wenn du genau hinschaust ist das bei x1=0 aber nicht so, da da noch was bei der anderen Extremstelle x1=(-1) passiert.
Hier um einiges einfacher: also rel. Maximum.
mahack Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzialrechnung
EDIT: "Ist die Vielfachheit (erste, zweite, dritte, 4-te, 5-te, n-te Ableitung) dieser Ableitung ungerade, liegt ein Sattelpunkt vor." --> Gilt natürlich nicht für die 1.Ableitung!
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