Orthonormalbasis

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l.euler Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis
Meine Frage:
handelt es sich be der basis

um eine orthonormalbasis? (1)
ist sie rechtshändig orientiert? (2)
wie lauten die koordinaten des vektors hinsichtlich der basis

Meine Ideen:
zu (1) kann ich die determinante berechnen ?und wenn =0 dann ist es keine basis
zu (2) habe ich leider keinen ansatz
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormalbasis
Dass es sich um eine Basis handelt, wird in der Frage bereits vorausgesetzt. Das sollst du gar nicht mehr beweisen. Du sollst nur noch zeigen (oder widerlegen), dass es ein Orthonormalsystem ist.

Das heisst, dass jeder Vektor normiert und je 2 Basisvektoren orthogonal sind.
marie2311 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormalbasis
wenn ich das skalarprodukt bilde reicht es wenn ich die vektoren ohne die brüche vergleiche oder muss ich die auch beachten?
Jayk Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Orthogonalität braucht du die Brüche nicht zu beachten, aber du hast ja auch noch Normiertheit zu zeigen. Und dafür sind die Koeffizienten natürlich wesentlich. Augenzwinkern
marie2311 Auf diesen Beitrag antworten »

reicht es wenn ich zb für den ersten vektor sage das gilt 1/betrag vom vektor also 1/sqrt(((-1)^2+1^2))

und wie prüfe ich ob es rechtshändig orientiert ist ?
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst den Betrag der Vektoren berechnen. Wenn der Betrag 1 ist, ist der Vektor normiert. Dabei kannst du auch das Skalarprodukt nutzen. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist nämlich das Quadrat seines Betrages. Wenn also das Skalarprodukt jedes Vektors mit sich selbst 1 ergibt, ist das System normiert.

Deine Vektoren bilden ein Rechtssystem, wenn die Determinante aus den Basisvektoren (in der Reihenfolge) größer als 0 ist.
 
 
marie2311 Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich berechne den betrag für den ersten vektor:

da der betrag =1 ist mein vektor normiert ich hoffe das ist die richtige interpretation

was ich nicht verstehe ist der satz "Wenn also das Skalarprodukt jedes Vektors mit sich selbst 1 ergibt, ist das System normiert"???
wenn ich das mit dem ersten vektor ausprobiere erhalte ich doch

sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du aber den Faktor



einfach unterschlagen. Der hat natürlich Einfluss auf den Betrag. wenn du den mitnimmst, sieht es anders aus.
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Den Faktor kannst du nur dann weglassen, wenn du Orthogonalität nachweisen willst. Denn wenn zwei Vektoren orthogonal sind, dann auch jedes Vielfache dieser Vektoren.
marie2311 Auf diesen Beitrag antworten »

für den betrag ist aber

richtig hoffe ich also kann das auch für alle andren vektoren bestimmen

ich denke das heißt auch das ich die determinante bestimmen kann ohne die brüche


also 6>0 damit ist die basis rechtshändig
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von marie2311
für den betrag ist aber

richtig hoffe ich also kann das auch für alle andren vektoren bestimmen

Das ist richtig. Wenn du es mit dem Skalarprodukt machen willst, lautet die korrekte Rechnung:



Zitat:
Original von marie2311
ich denke das heißt auch das ich die determinante bestimmen kann ohne die brüche


also 6>0 damit ist die basis rechtshändig


Das ist auch richtig.
marie2311 Auf diesen Beitrag antworten »

supergeil vielen dank bis hierher
und wenn ich jetzt die koordinaten für haben will rechne ich :


löse mit gauß und erhalte

hoffe das ist richtig kann man auch eine probe dazu rechnen?
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von marie2311
supergeil vielen dank bis hierher
und wenn ich jetzt die koordinaten für haben will rechne ich :


Dazu musst du



lösen. Das führt auf ein lineares Gleichungssystem in
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würde dann doch lieber die Eigenschaften der Orthonormalbasis ausnutzen statt ein Gleichungssytem aufzustellen
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Läuft das nicht auf das selbe hinaus? Das Gleichungssystem ist doch sehr einfach.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde es noch immer einfacher, die Koeffizienten direkt hinzuschreiben.
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Ich finde es noch immer einfacher, die Koeffizienten direkt hinzuschreiben.


Da hast du recht. Finde ich auch.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Bei uns wurde das Verwenden einer Orthonormalbasis unter anderem sogar dadurch motiviert, dass man dann die Koeffizienten von Vektoren bzgl. dieser Basis so leicht bestimmen kann.Es wäre also wirklich sehr schade, wenn man diesen Vorteil einfach wegschmeißt.
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