Integration durch Substitution

24.01.2015, 18:32	derM.	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution Meine Frage: Muss die folgende Funktion integrieren durch Substitution $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{x}{\sqrt{(4x-1)} } \, dx <br /> \end{eqnarray}$ u = 4x-1 Meine Ideen: $\begin{eqnarray} <br /> \int_a^b \! \frac{x}{\sqrt{(4x-1)} } \, dx <br /> <br /> 1) u = 4x -1 \Rightarrow 2) x = \frac{u+1}{4}<br /> 3) dx = \frac{du}{4} <br /> <br /> \int_a^b \! \frac{\frac{u+1}{4}}{\sqrt{u}}\frac{du}{4} \, dx<br /> \frac{1}{16} \int_a^b \! \frac{{u+1}}{\sqrt{u}} \, dx<br /> <br /> \end{eqnarray*}$ wie könnte ich weiter machen partielle Integration? Danke
24.01.2015, 18:53	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: integration durch substitution Bevor du weitermachst: Du hast etwas gepfuscht. Im letzten Integral muss es $\begin{eqnarray} du \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ heißen. Ausserdem musst du bedenken, dass die Grenzen sich auf die Variable x beziehen. Wenn du jetzt bezüglich u integrierst musst du auch die Grenzen transformieren. Wenn du damit fertig bist, kannst du Potenzgesetze nutzen. Damit geht es weiter.
24.01.2015, 18:55	GuntherGeier	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest das Integral aufspalten in eines über $\begin{eqnarray} \sqrt{u} \end{eqnarray}$ und eines über $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{u}} \end{eqnarray}$ .
24.01.2015, 22:19	derM.	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution [quote]Original von derM. Meine Frage: Muss die folgende Funktion integrieren durch Substitution $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{x}{\sqrt{(4x-1)} } \, dx <br /> \end{eqnarray}$ u = 4x-1 Meine Ideen: a=1/2, b=10/4 $\begin{eqnarray} <br /> \int_a^b \! \frac{x}{\sqrt{(4x-1)} } \, dx <br /> <br /> 1) u = 4x -1 \Rightarrow 2) x = \frac{u+1}{4}<br /> 3) dx = \frac{du}{4} <br /> <br /> \int_a^b \! \frac{\frac{u+1}{4}}{\sqrt{u}}\frac{du}{4} <br /> \frac{1}{16} \int_a^b \! \frac{{u+1}}{\sqrt{u}} \, du<br /> \frac{1}{16} \int_a^b \! u^{1/2} + \frac{{1}}{\sqrt{u}} \, du<br /> \frac{1}{16} \left[\frac{u^{3/2} }{3} + 2\sqrt{u} \right]_{1}^{9} <br /> \frac{1}{16} \left[\frac{(4x-1)^{3/2} }{3} + 2\sqrt{4x-1} \right]_{1}^{9} \end{eqnarray*}$ wenn ich jetzt einsetze dann bekomme ich einen falschen Flächeninhalt raus! es sollte 1,33 rauskommen aber ich bekomme 8,93.. meine Schritte: habe den Substitutionsterm u=4x-1 bestimmet, habe sie abgeleitet und eingesetzt, dann nach Potenz-regel integriert und wieder rücksubstituiert und habe händisch als auch mit taschenrechner die obergrenze durch die untergrenze subtrahiert was habe ich falsch gemacht? Danke
24.01.2015, 22:56	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{16} \int_a^b \! u^{1/2} + \frac{{1}}{\sqrt{u}} \, du<br /><br /> \frac{1}{16} \left[\frac{2u^{3/2} }{3} + 2\sqrt{u} \right]_{1}^{9} <br /><br /> \end{eqnarray}$ Hier hattest du nur eine 2 als Faktor vergessen. Wenn du nun deine Grenzen einsetzt, gelangst du zum richtigen Ergebnis. $\begin{eqnarray} \frac{1}{16} \left[\frac{2(4x-1)^{3/2} }{3} + 2\sqrt{4x-1} \right]_{0,5}^{2,5} \end{eqnarray}$ Setzen wir den Faktor 2 und ändern wieder unsere Grenzen (!) passt das Ergebnis wieder. Aber wieso nicht gleich deine transformierten Grenzen einsetzen? edit: Und bei deiner Notation solltest du deine Grenzen a und b auch transformieren. Das hatte sixty-four doch schon angesprochen.

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