Querschnittsfläche

24.01.2015, 18:50

Extremwert

Querschnittsfläche

Aus einem runden Baumstamm mit Durchmesser d=30 cm soll ein massiver Balken mit rechteckigem, möglichst großem Querschnitt gesägt werden.
Welche Maße muss die Querschnittsfläche des Balkens haben?

Meine Gedanken

Man könnte als HB die Fläche eines Rechtecks annehmen, oder?
$\begin{eqnarray*} A(a,b)=a*b \end{eqnarray*}$

Als NB hätte ich mir gedacht mit dem Pythagoras zu rechnen
$\begin{eqnarray*} b=\sqrt{d^2-a^2} \end{eqnarray*}$
und dann das Ergebnis in A(a) einsetzen und dann abzuleiten und null zusetzen.
Doch es kommt immer das falsche für a heraus.
In den Lösungen steht nur a=b~21,2 cm und, dass der massivste Balken ein Quadrat sein muss.

Ich hoffe jemand kann mir helfen smile

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24.01.2015, 19:24

Bjoern1982

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Deine Gedanken sind durchaus richtig.
Was möchtest du denn jetzt genau wissen ?
Warum du nicht auf die Kontroll-Lösung kommst, kann ja niemand erraten. Augenzwinkern

24.01.2015, 19:40

Extremwert

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Ich möchte einfach nur wissen, was ich im Gedankengang und rechnen falsch gemacht habe.

24.01.2015, 19:45

Widderchen

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Hallo,

bei solchen Extremwertaufgaben geht es stets darum, eine Haupt- , eine Nebenbedingung und - daraus resultierend - eine geeignete "Zielfunktion" aufzustellen. Das hast du bisher alles richtig gemacht. Deine Zielfunktion lautet:

$\begin{eqnarray*} A(a) = a \cdot sqrt(d^2 - a^2) = a \cdot (d^2 - a^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$ . Nun musst du die Funktion A(a) nach a ableiten. Denk daran, dass d eine konstante Größe ist.

Die Ableitung erhältst du mit der Produktregel. Wie du eine Wurzelfunktion ableitest, sollte dir auch klar sein. Die notwendige Bedingung besagt, dass du

A´(a) = 0 setzen musst, um die Extremstellen zu ermitteln. Und ja,der massivste Balken mit der größtmöglichen Querschnittsfläche ist tatsächlich ein Quader mit quadratischer Grundfläche.

Vielleicht hast du einen Fehler bei der Berechnung der Ableitung gemacht? verwirrt

Viele Grüße
Widderchen

24.01.2015, 19:56

Extremwert

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Ich hab so abgeleitet Widderchen

Erst hab ich die gesamte Gleichung quadriert
$\begin{eqnarray*} A^2(a)=a^2*(d^2-a^2) \end{eqnarray*}$
In Zahlen dann ausmultipliziert
$\begin{eqnarray*} 90a^2-a^4 \end{eqnarray*}$

Dann abgeleitet $\begin{eqnarray*} A^2(x)=180a-3*a^3 \end{eqnarray*}$ und null gesetzt

24.01.2015, 20:04

Widderchen

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Versuchen wir es doch einfach mal mit der von mir genannten Gleichung im vorigen Post.

Also Ableiten liefert unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} A*(a) = 1 \cdot (d^2 - a^2)^{1/2} - a \cdot (1/2) \cdot 2a \cdot (d^2 - a^2)^{-1/2} \end{eqnarray*}$

So, nun rechne weiter und setze die Ableitung gleich Null. Das sollte dir weiterhelfen.

Wenn du übrigens A(a) quadrierst, musst du dann auch noch $\begin{eqnarray*} A^2(a) \end{eqnarray*}$ ableiten, das hast du leider nicht getan.

Aber mit dem oben genannten Ansatz solltest du weiterkommen. Augenzwinkern

Widderchen

24.01.2015, 20:10

riwe

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Zitat:

Original von Extremwert
Ich hab so abgeleitet Widderchen

Erst hab ich die gesamte Gleichung quadriert
$\begin{eqnarray*} A^2(a)=a^2*(d^2-a^2) \end{eqnarray*}$
In Zahlen dann ausmultipliziert
$\begin{eqnarray*} 90a^2-a^4 \end{eqnarray*}$

Dann abgeleitet $\begin{eqnarray*} A^2(x)=180a-3*a^3 \end{eqnarray*}$ und null gesetzt

da stimmt denke ich, alles ,
NUR
$\begin{eqnarray*} 30^2=900\neq 90 \end{eqnarray*}$

24.01.2015, 20:11

Extremwert

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Ich habe es jetzt gelöst aber für a kommt $\begin{eqnarray*} 45*2^(1/2) \end{eqnarray*}$ heraus traurig