DGL 1. Ordnung lösen

24.01.2015, 20:03

nierengegend

DGL 1. Ordnung lösen

EDIT: ich habe gerade gesehen, dass dieser Beitrag im Bereich "Hochschulmathematik" besser aufgehoben ist und bitte die Moderation das Thema im Bereich "Schulmathematik" zu löschen.

Hallo zusammen,

mein Problem stellt sich wie folgt dar:

Gegeben ist folgende DGL: y'(x) = y(x)sinx + sin(2x).

Ich suche die Lösung dieser Differentialgleichung. Normalerweise würde ich über Variablentrennung, die mir in der Regel keine Schwierigkeiten bereitet, zu einer Lösung kommen. Ich habe aber den Verdacht, dass diese DGL nicht separierbar ist.

Mir ist bekannt, dass man in diesem Fall sich das Leben durch entsprechende Substitutionen leichter machen kann. Allerdings fehlt mir als VWLer ein wenig der Blick für trigonometrische Funktionen. Aus rudimentären Vorwissen weiß ich, dass sich obige DGL bspw zu:

y'(x)=y(x)sinx + 2cosx

vereinfachen ließe.

Ich hätte dann bspw.

dy/dx=y(x)sinx + 2cos(x) und setze sinx=u und folglich: cosxdx=du bzw. cosx=du/dx

Ich weiß, dass das nichts gebracht hat, aber ich will damit nur verdeutlichen, dass ich seit einiger Zeit an dieser Aufgabe feile und einfach nicht vorankomme bzw. mir kein entscheidender Schritt zur Lösung gelingen möchte.

Gibt es hier jemanden, der mir in dieser Sache weiterhelfen kann?

verzweifelnd und grüßend,
n.

24.01.2015, 20:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von nierengegend
Gegeben ist folgende DGL: y'(x) = y(x)sinx + sin(2x).

[...]

Aus rudimentären Vorwissen weiß ich, dass sich obige DGL bspw zu:

y'(x)=y(x)sinx + 2cosx

vereinfachen ließe.

Nein, allenfalls $\begin{align*} y'(x) = (y(x)+2\cos(x))\sin(x) \end{align*}$ .

24.01.2015, 23:28

nierengegend

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Zitat:

Original von HAL 9000

Nein, allenfalls $\begin{align*} y'(x) = (y(x)+2\cos(x))\sin(x) \end{align*}$ .

Danke für die Verbesserung. Unabhängig davon stünde ich dann vor einer ähnlichen Problematik, nämlich, dass sich die Variablen nicht trennen lassen.

Hast Du diesbezüglich einen Tipp?

24.01.2015, 23:39

Mulder

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Standard: Variation der Konstanten

25.01.2015, 00:08

grosserloewe

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2 . Möglichkeit

Lösung als exakte DGL , natürlich nur , wenn ihr das schon gehabt habt.

smile

26.01.2015, 17:50

nierengegend

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Zitat:

Original von Mulder
Standard: Variation der Konstanten

Ok, also ich bin mit diesem Verfahren nicht vertraut und gucke mal, ob das klappt.

1. Schritt

Ich beginne mit der Ausgangsgleichung:

y'(x)=ysin(x)+sin(2x)

die ich zu:

y'(x)-ysin(x)=sin(2x)

umgeformt habe und setze die Störfunktion, als die ich sin(2x) ausgemacht habe, gleich 0:

y'(x)-ysin(x)=0

Mit dem üblichen Verfahren der Variablentrennung erhalte ich:

y(x)=ce^(-cosx)

Die Rechnung habe ich nachvollziehbar aufgeschrieben, zu finden im Dateianhang.

2. Schritt

Ich lasse die Konstante variieren und schreibe daher statt "c" nunmehr "c(x)", oder?

y(x)=c(x)e^(-cosx)

Die Ableitung y'(x) entspräche dann:

y'(x)=c'(x)e^(-cosx)+c(x)sin(x)e^(-cosx)

Ich habe also jetzt die vorläufige Lösung und die Ableitung der vorläufigen Lösung und setze diese in die ursprüngliche DGL ein. Salopp gesagt heben sich die Terme ohne Ableitung nun auf und ich erhalte:

c'(x)e^(-cosx)=sin(2x)

und die Ableitung der variierten Konstante ist damit:

c'(x)=(e^(cosx))sin(2x)

Jetzt muss ich ja das Integral bilden, allerdings scheitere ich hier, da mir eine partielle Integration nicht sinnvoll erscheint und eine Substitution nicht möglich.

Substituierte ich sin(2x)=u und damit du=2cos(x)dx bzw. 1/2du=cos(x)dx, erhielte ich lediglich:

c'(x)= Int(u*e^du)du und das erscheint mir nicht sinnvoll.

Kann mir jemand an dieser Stelle weiterhelfen oder habe ich generell schon schwere Rechenfehler begangen?

26.01.2015, 18:41

nierengegend

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Edit:

Ich habe jetzt doch ein geeignetes Verfahren zur Lösung des Integrals gefunden. Ich schreibe:

sin(2x)=2sin(x)*cosx

Dann wäre die Aufgabe:

c(x)=Int[2sin(x)cos(x)*e^(cosx)]dx

Ich substituiere wie folgt: u=cosx und damit du=-sinxdx bzw. -du=sinxdx

und erhalte (die zwei schon mal vor das Integral gezogen):

c(u)=2*Int[-u*e^u]du

Das Minus vor das Integral gezogen und mittels partieller Integration komme ich auf:

c(u)=(-2)[1/2u^2*e^u-e^u] ---> übersichtlicher nochmals in einem Anhang gerechnet.

Ist die Lösung:

c(x)=-(cosx)^2*e^(cosx) + 2e^(cosx) + C ---> besser in der PDF einsehbar.

soweit erstmal richtig?

26.01.2015, 19:51

HAL 9000

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Ich fass mal wesentliche Punkte zusammen:

a) $\begin{align*} y_h = c e^{-\cos(x)} \end{align*}$ als Lösung der homogenen Gleichung $\begin{align*} y'-y\sin(x)=0 \end{align*}$ ist richtig.

b) Variation der Konstanten $\begin{align*} y_p = c(x)e^{-\cos(x)} \end{align*}$ führt zu

$\begin{align*} c = \int 2\sin(x)\cos(x)e^{\cos(x)} ~ \dd x = -2\int ue^u ~ \dd u \end{align*}$ ,

letzteres mit Substitution $\begin{align*} u=\cos(x) \end{align*}$ . Soweit sieht es bei dir noch gut aus - aber die $\begin{align*} u \end{align*}$ -Integralauswertung geht irgendwie in die Irre. Richtig ist im folgenden

$\begin{align*} c = -2(u-1)e^u = -2(\cos(x)-1)e^{\cos(x)} \end{align*}$

sowie dann die partikuläre Lösung $\begin{align*} y_p = c\cdot e^{-\cos(x)} = 2-2\cos(x) \end{align*}$ und als allgemeine Lösung der Ausgangsgleichung schlussendlich

$\begin{align*} y = 2-2\cos(x) + C e^{-\cos(x)} \end{align*}$ .

27.01.2015, 11:44

nierengegend

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Zitat:

Original von HAL 9000

$\begin{align*} c = -2(u-1)e^u = -2(\cos(x)-1)e^{\cos(x)} \end{align*}$

.

Jawohl, jetzt habe ich den Fehler gefunden und komme auch auf die richtige Lösung. Vielen Dank an Dich und alle, die mir weitergeholfen haben! Freude

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