Integration

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blurry Auf diesen Beitrag antworten »
Integration
Halllo,

wie hat man eigentlich bewiesen dass man das Integral von z.B. x als 0.5x² oder von x² als 0.33 x³
berechnet ? Hat man gesehen dass es aufgrund zahlreicher Versuche einfach so ist dass man die Variable um 1 erhöht und noch einen Faktor multipliziert. Oder gibt es da einen mathematischen beweis dafür. Also mir konnte das noch keiner erklären. MIr wurde immer gesagt ist halt so .
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du deine genannten Beispielfunktionen differenzierst bzw. ableitest (zum Beispiel unter Verwendung des Differentialquotienten), dann sollte dir klar sien, dass deine Ausgangsfunktion eine Stammfunktion der von dir gebildeten Ableitungsfunktion ist.

Die Analysis baut im Grunde auf den sogenannten Fundamentalsatz der Analysis auf, einem Hauptsatz, der dir die Beziehung zwischen Intergration und Differentiation veranschaulicht.

Diese fundamentale Aussage ist so gut wie in jedem Analysisbuch und auch im Internet vofindbar.

Ich hoffe, das beantwortet deine Frage annähernd. smile


Viele Grüße
Widderchen
Hippocampus Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Regel erhält man durch Umkehrung einer Ableitungsregel:

Wenn nach der Potenzregel dies gilt:


Erhält man durch Integration beider seiten die gesuchte Integrationsregel:



Grüße Wink
marin_zi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Widderchen
Diese fundamentale Aussage ist so gut wie in jedem Analysisbuch und auch im Internet vofindbar.

Hallo mich würde das auch mal interessieren.

Ich würde gerne mal einen link dazu haben. Oder ein Namen des Buches hören ?

Alles was ich darüber gelesen habe ist die Heranführung and das Integral mit Ober und Untersumme.
Schön mit Zeichnungen und es kommt raus das dann wenn man diese Kästchen unedlich klein macht und berechnet und Summen macht etc. Irgendwann ist das Integral der Grenzwert zwischen Obersumme und Untersumme und fällt vom Himmel und ist mit der Ableitung verknüpft aber warum ?

Was bringt mir eine Stammfunktion zu einer Funktion die mir die Steigungen dieser zeigt und warum kann ich auf einmal damit Flächen berechnen ?

Also irgend einen Punkt verstehe ich nicht. verwirrt
Hippocampus Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir die Fläche unter einer Kurve in dem Intervall mit Ober-/Untersumme beschreiben wollen, während die Rechtecke die gleiche Breite und die Höhe , kommen wir durch Aufsummieren der Rechtecke auf die Formel
.
Ich habe dort ausgeklammert.
Dabei ist außerdem die Anzahl der Rechtecke.

Wenn wir nicht eine konstante Funktion betrachten, werden wir bei einer begrenzten Anzahl an Rechtecken immer einen Fehler haben. Deshalb lassen wir die Anzahl der Rechtecke
gegen unendlich laufen. Somit wird die Breite der Rechtecke unendlich klein (->infinitesimal) und man schreibt statt .
Das war's schon:



Schau mal bzgl. des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung dieses Video von Jörn Loviscach:
https://www.youtube.com/watch?v=izJMOpoYH0k

Zweiter Teil: https://www.youtube.com/watch?v=q0VmIBk9NdQ
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Das entscheidende Stichwort dabei sind auch die sogenannten

"Riemann-Darboux-Summen" , die Hippocampus dir schon freundlciherweise vorgestellt hat.

Diese Summen approximieren das Integral auf einem Interval [a,b] von unten und von oben.

Wählst du die Partition bzw. die Zerlegung deines Intervalls [a,b] in Teilintervalle
immer feiner, dann laufen diese Summen gegen einen Grenzwert, den man das Integral einer Funktion f, die auf einem Intervall [a,b] wohldefiniert ist, bezeichnet.

Die mathematische Notation kennst du bereits und hat dir Hippocampus auch in seinem Post hinterlegt! smile

Es gibt diverse Literatur zum Thema Analysis, insbesondere zur Thematik "Fundamentalsatz der Analysis" und auch zu den "Riemann-Darboux-Summen", wie z.B. Otto Forster "Analysis 1", Königsberger "Analysis 1" , etc. ....

Im Internet könnt ihr Informationen en masse zu diesem Thema finden. Augenzwinkern

Viele Grüße
Widderchen
 
 
marin_zi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo das kenn ich.
Ich kenne auch das Video von Jörn Loviscach.

Ich habe auch 3 Bücher über Anaylsis. Da wird dann mit Riemann Summe Flächen berechnet und man lasst es immer genauer und feiner werden. Und nächste Seite ist auf mal das Integralzeichen da.
Und man stellt schon die Formel mit dem Wissen das es ja die Umkehrfunktion handelt und läßt die Kettenregel rückwerts "laufen".

Meine Frage ist warum ist das Intergral die Umkehrfunktion zur Ableitung ?

Bei der Ableitung beim "Tangential Problem" kann man das schön sehen. Da verbindet man 2 Punte auf der Funktion und macht einen Linie. Man bekommt eine Steigung. Jetzt läßt man dein einen Punkt immer näher an den anderen Punkt wandern bis es unedliche klein wird. Damit ist auch klar was eine Ableitung ist.

Aber warum das Intergral zu einem Haufen Tagenten die Fläche ist ?

Und der Zusammenhang warum das jetzt die Umkehrfunktion von da nach und umgekehrt sein soll verstehe ich nicht. Und finde nicht wo das gezeigt wird.
Zu welchem Zeitpunkt soll das im Video angesprochen werden ? Und wo und zu welchem Zeitpunkt wird das bewiesen ? Oder wie zeigt man das ? Oder was ist so logisch und selbst erklärend das man es nicht erwähnen muss ? Big Laugh

Z.b auch hier.
https://www.youtube.com/watch?x-yt-ts=14...-yt-cl=84503534
Am Schluß wird einfach gegenüber gestellt. Warum kann man aber die Aussage treffen ?


Grüße
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von marin_zi
Hallo das kenn ich.
Ich kenne auch das Video von Jörn Loviscach.

Ich habe auch 3 Bücher über Anaylsis. Da wird dann mit Riemann Summe Flächen berechnet und man lasst es immer genauer und feiner werden. Und nächste Seite ist auf mal das Integralzeichen da.
Und man stellt schon die Formel mit dem Wissen das es ja die Umkehrfunktion handelt und läßt die Kettenregel rückwerts "laufen".

Meine Frage ist warum ist das Intergral die Umkehrfunktion zur Ableitung ?



Du weißt doch dass der Grenzwert



wenn er existiert, als Ableitung von F(x) bezeichnet wird.
Wenn du jetzt eine stetige Funktion f(x) betrachtest, dann ist die Fläche unter dem
Graphen von bis zu einem Punkt x eine Funktion von x. Wenn du diese mit F(x) bezeichnest, gelten folgende Ungleichungen, wenn ist:



Wenn du jetzt durch dividierst, hast du



Jetzt lässt du gegen 0 laufen.



Auf der linken Seite ergibt sich im Grenzfall f(x). Auf der rechten Seite ergibt sich aber auch f(x), da f(x) als stetig vorausgesetzt wurde. Folglich muss das, was in der Mitte steht, auch f(x) sein.

In der Mitte steht aber genau der Differentialquotient der Integralfunktion. Es gilt also:




Ich hoffe, du kannst es nachvollziehen, sonst frag noch mal nach.
marin_zi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Ah schön langsam ... smile
Wieso darf ich das annehmen ?



Beispiel:










Grüße
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von marin_zi
Hallo

Ah schön langsam ... smile
Wieso darf ich das annehmen ?





Da hast du recht. Ich habe in meiner Beweisführung eine monoton wachsende Funktion vorausgesetzt. Aber wenn du nur klein genug wählst, dann gilt wegen der Stetigkeit von f(x) entweder



oder



Das spielt aber für die Abschätzung am Ende keine Rolle.
marin_zi Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Achso einmal geht man halt von links nach rechts "ran" oder halt von der rechts nach links ran.
Ok das kann nachvollziehen.

Ok akzeptiert jetzt glaub ichs euch Big Laugh
Danke nochmal!

Grüße
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