Isomorphismus zwischen Quotientenringen

25.01.2015, 19:02	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus zwischen Quotientenringen Meine Frage: Hallo Zusammen Wäre sehr froh, wenn mir jemand bei folgendem Beweis helfen könnte: Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i] \backslash (p) \cong \mathbb Z \backslash p[X] \backslash (X^2 + 1) \cong \mathbb Z[X] \backslash (p, X^2+1) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Leider habe ich absolut keine Ahnung, wie und wo ich beginnen soll. Wie geht man bei so einer Aufgabe am besten vor? Vielen Dank für die Hilfe!
25.01.2015, 19:38	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Wesentlichen steckt da nur folgende Isomorphie dahinter: Sind $\begin{align} I \subset J \subset R \end{align}$ zwei Ideale, so gilt $\begin{align} (R/I)/(J/I) \cong R/J \end{align}$ . Das wird hier zwei mal angewendet. Einmal mit $\begin{align} (p) \subset (p,X^2+1) \subset \mathbb Z[X] \end{align}$ und ein anders mal mit $\begin{align} (X^2+1) \subset (p,X^2+1) \subset \mathbb Z[X] \end{align}$
26.01.2015, 14:57	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank!

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