Produkt von Borelmengen

25.01.2015, 21:45	telli	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt von Borelmengen Meine Frage: Hallo, Ich versuche folgendes zu verstehen/zeigen: (Es handelt sich dabei um borelsche sigma-Algebren) $\begin{eqnarray} \mathfrak{B}(\mathbb R^{k+m}) = \mathfrak{B}(\mathbb R^{k}) \otimes \mathfrak{B}(\mathbb R^{m}) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nun laut Forster bedeutet $\begin{eqnarray} \mathfrak{B}(\mathbb R^{k}) \otimes \mathfrak{B}(\mathbb R^{m}) = < \mathfrak{B}(\mathbb R^{k}) \boxtimes\mathfrak{B}(\mathbb R^{m}) >^{\sigma} \end{eqnarray}$ dann ist, $\begin{eqnarray} < \mathfrak{B}(\mathbb R^{k}) \boxtimes\mathfrak{B}(\mathbb R^{m}) >^{\sigma} = \mathfrak{E} = \left\{ \bigcup_{i=1}^j X_i \times Y_i \mid X_i\in\mathfrak{B}(\mathbb R^{k}), Y_i \in \mathfrak{B}(\mathbb R^{m}) \right\} \end{eqnarray}$ (korrigiert mich bitte wenn ich falsch liege) jetzt muss ich glaube ich zeigen, dass dieses Erzeuger-Mengensystem eine Teilmenge der Potenzmenge $\begin{eqnarray} \mathcal{P}(\mathbb R^{k+m}) \end{eqnarray}$ ist. Die Elemente von $\begin{eqnarray} \mathfrak{E} \end{eqnarray}$ sind ja dann Mengen von der Form $\begin{eqnarray} \left\{(x_1,y_1),(x_1,y_2),..,(x_2,y_1),(x_2,y_2),...\right\}\mid x \in X_i, y \in Y_i \end{eqnarray}$ Nun gilt also $\begin{eqnarray} (x,y) \in \mathbb R^{k+m} \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} \mathfrak{E} \end{eqnarray}$ ist eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathcal{P}(\mathbb R^{k+m}) \end{eqnarray}$ Ich weiss jetzt, dass die linke und die rechte Seite der Gleichung beide Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathcal{P}(\mathbb R^{k+m}) \end{eqnarray}$ sind. Wie kann ich nun auf die Gleichheit schliessen?

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