Umkehrung Vektorfeld

25.01.2015, 22:57

Fedor1

Umkehrung Vektorfeld

Meine Frage:
Hallo, für die Funktion f(x,y) =( f1(x,y), f2(x,y)) = (u , v) =( x*cos(y), x sin(y)) soll die Umkehrfunktion bestimmt werden.

Meine Ideen:
Was ich weiß, ist das dazu die Funktionaldeterminate ungleich Null sein muss bzw. die Jacobi-Matrix invertierbar sein muss. Die Determinante ist = x also Ungleich null. Wie komme ich jetzt an die Umkehrfunktion? Ist das nur das Lösen eines Gleichungssystems?

Vielen Dank für eure Hilfe!

26.01.2015, 12:06

Ehos

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Die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\cdot \cos(y) \\ x\cdot \sin(y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lautet offenbar $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sqrt{f_1^2+f_2^2} \\ \arctan \left ( \tfrac{f_2}{f_1}\right ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im Prinzip ist dies nichts anderes als die Transformation von kartesischen Koordinaten (x,y) in ebene Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} (r,\phi) \end{eqnarray*}$ . Dies wird klar, wenn man in deiner Aufgabe die Bezeichnung der Koordinaten wie folgt ändert

$\begin{eqnarray*} f_1 \rightarrow x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2 \rightarrow y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \rightarrow r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \rightarrow \phi \end{eqnarray*}$

26.01.2015, 14:02

Fedor1

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Wie kommst du darauf? und farum f1 und f2 ? Ich muss doch für die Umkerung x und y als Funktionen von u und v angeben oder nicht?

Ich habe dann gesagt: $\begin{eqnarray*} \sqrt{u^{2} +v^{2} } = x * \sqrt{\sin(y) ^{2}+\cos(y) ^{2} } =x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{v}{u} = \tan(y) \end{eqnarray*}$ Daraus folgt dann das was du geschrieben hast! Ist mein Rechenweg dann richtig?

26.01.2015, 14:32

Ehos

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Gemäß deiner Aufgabenstellung ist $\begin{eqnarray*} f_1=u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2=v \end{eqnarray*}$ . Deine Interpretation meiner Rechnung ist also richtig.

26.01.2015, 14:43

Fedor1

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Zitat:

Original von Ehos
Gemäß deiner Aufgabenstellung ist $\begin{eqnarray*} f_1=u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2=v \end{eqnarray*}$ . Deine Interpretation meiner Rechnung ist also richtig.

OK, ja stimmt! Was mache ich, wenn das Vektorfeld wesentlich komplizierter ist? Ich habe hier eine andere Aufgabe, wo ich nicht sehen kann wie man die Umkehrung findet

27.01.2015, 09:44

Ehos

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Wenn man ein Vektorfunktion $\begin{eqnarray*} \vec f=\vec f(\vec u) \end{eqnarray*}$ umstellen will zu $\begin{eqnarray*} \vec u=\vec u(\vec f) \end{eqnarray*}$ , so führt dies auf ein nichtlineares Gleichungssystem mit n Gleichungen. Das kann in der Tat sehr kompliziert werden. Einen allgemeinen Rechenweg gibt es dabei nicht.

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