Simple Aufgabe - Weierstrass?

26.01.2015, 11:39

epsilonBaumi

Simple Aufgabe - Weierstrass?

Hey Leutz,

hab ne vermutliche simple Frage, aber komm nich so ganz auf die Antwort:

habe eine begrenzte Funktion g: R -> R und dann die Funktion h(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{g(x)}{1 + |x|} \end{eqnarray*}$ .
Die Frage ist: hat die funktion h(x) einen grössten bzw kleinsten wert?

Habe gedacht ich könnte mit Hilfe des Satzes von Weierstrass (weiss nicht genau wie die deutsche Bezeichnung ist, heisst in Finnland sowas wie "Weierstrass'scher Min-Max-Satz".. Big Laugh

), der besagt , dass eine begrenzte funktion (stetig) einen grössten und kleinsten Wert hat. Da mein g ja begrenzt ist und h fuer grosse zahlen gegen 0 läuft.

Hatte gesagt, dass es zahlen m<0 und M>0 gibt, sodass h(x)<g(0) falls x<m und h(x)>g(0) falls x>M. Also hat h in dem geschlossenem Intervall [m, M] ein Maximum G und ein Minimum K, mit $\begin{eqnarray*} G\geq H(0)=g(0)\geq K \end{eqnarray*}$ .

Mein Lehrer meinte nicht ganz, da man nicht genau sagen kann ob die funktion positiv oder negativ ist.. also bin ich voll auf dem holzweg oder is da doch was richtig bei..? Big Laugh

LG
Baumi

26.01.2015, 11:57

klarsoweit

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RE: Simple Aufgabe - Weierstrass?
Nun ja, begrenzt heißt doch, daß es ein M gibt, so daß |g(x)| <= M ist für alle x aus R.

Welche obere Schranke kannst du nun für |h(x)| nehmen?

26.01.2015, 12:06

epsilonBaumi

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RE: Simple Aufgabe - Weierstrass?
naja da h(x) nicht grösser als g(x) werden kann, wäre M die obere schranke von |h(x)|?
selbes dann fuer die untere schranke?: |g(x)|>=m fuer alle x aus R?

Ich habe das gefuehl, es ist ziemlich easy, aber bin grade zu doof das zu kapieren?!^^

26.01.2015, 12:25

klarsoweit

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RE: Simple Aufgabe - Weierstrass?

Zitat:

Original von epsilonBaumi
naja da h(x) nicht grösser als g(x) werden kann, wäre M die obere schranke von |h(x)|?

Oder um es in Formel zu schreiben: es gilt |h(x)| <= |g(x)| <= M

Zitat:

Original von epsilonBaumi
selbes dann fuer die untere schranke?: |g(x)|>=m fuer alle x aus R?

Was willst du mit einer unteren Schranke? verwirrt

Beschränkt ist eine Funktion, wenn ihr Betrag nach oben beschränkt ist. Punkt.

26.01.2015, 12:54

epsilonBaumi

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RE: Simple Aufgabe - Weierstrass?
Haha okok Big Laugh

Danke fuer deine Antwort! Freude

Mit der unteren Schranke will ich zeigen, dass die funktion einen niedrigsten wert haben kann. weil g(x) sagt uns ja nix genaues eig. Wenn ich den negativen Betrag -|g(x)| nehme, wuerde ich doch eine untere Schranke bekommen, soweit g - was es ist Big Laugh

- beschränkt ist. Oder? verwirrt

26.01.2015, 12:57

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RE: Simple Aufgabe - Weierstrass?

Zitat:

Original von epsilonBaumi
Mit der unteren Schranke will ich zeigen, dass die funktion einen niedrigsten wert haben kann.

Und wozu das ganze? verwirrt

Aber wenn es unbedingt sein muß, dann nimm -M als untere Schranke, denn aus |g(x)| <= M folgt -M <= g(x) <= M . Augenzwinkern

26.01.2015, 13:01

epsilonBaumi

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RE: Simple Aufgabe - Weierstrass?
Jaaa war ja die aufgabe Big Laugh

sollte ja nicht nur den grössten, sondern auch den kleinsten wert zeigen..^^

26.01.2015, 13:15

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RE: Simple Aufgabe - Weierstrass?
Du solltest nur die Frage beantworten, ob die Funktion h(x) einen größten und einen kleinsten Wert hat. Und diese Frage ist mit |h(x)| <= M beantwortet. smile

26.01.2015, 13:20

Huggy

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RE: Simple Aufgabe - Weierstrass?
Ich vermute mal, dass $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion sein soll.
Eine stetige und beschränkte Funktion hat ein Maximum und ein Minimum in ihrem Definitionsbereich, wenn dieser kompakt ist.

$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist nicht kompakt. Also hat $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ nicht zwingend ein Maximum und ein Minimum. Man betrachte z. B. $\begin{eqnarray*} g(x) = \arctan x \end{eqnarray*}$ . Von $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ kann man dagegen zeigen, dass es tatsächlich ein Maximum und ein Minimum hat, obwohl sein Definitionsbereich ebenfalls $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.

26.01.2015, 13:38

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RE: Simple Aufgabe - Weierstrass?
OK, ich habe "größten und einen kleinsten Wert" in Richtung "ist beschränkt" interpretiert. Nun gut, dann muß man etwas anders argumentieren. Sorry, daß ich mehr zur Verwirrung beigetragen habe. geschockt

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