Laplace-Experiment Skatspiel

26.01.2015, 15:08

Mathelover

Laplace-Experiment Skatspiel

Hallo zusammen,

habe wieder Schwierigkeiten folgende Aufgabe zu verstehen:

Ein gut gemischtes Skatspiel (32 Karten, davon 4 Buben) wird an drei Spieler verteilt, wobei „zwei Karten in den Skat kommen“.

Frage: Welchen Einfluss hat der Hinweiß: zwei Karten kommen in den Skat, auf meine Berechnungen?

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

(i) ein beliebiger Spieler alle Buben erhält?

Lösung:

a) $\begin{eqnarray*} \Omega = \left \{ \left ( \left \{ w_1,...,w_{10} \right \},\left \{w_{11},...,w_{20} \right \},\left \{ w_{21},...,w_{30} \right \} ,\left \{ w_{31},w_{32} \right \}\right ) :w_i \in \left \{ 1,...,32 \right \},w_i \neq w_j, i\neq j\right \} \end{eqnarray*}$

Erste Frage: Wie kommt man auf diese Menge Omega? Warum enthält sie diese 4 Teilmengen? Das versteh ich nicht.

Mit der Multiplikationsregel gilt:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \left |\Omega \right | = \binom{32}{10}\binom{22}{10}\binom{12}{10}\binom{2}{2} \end{eqnarray*}$

Was genau wird hier gemacht? Das sind doch die verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten von der Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ oder?

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: “Ein beliebiger Spieler erhält alle Buben“. Diese berechnen wir mit Hilfe der disjunkten Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ : “Spieler i erhält alle Buben“. Aus Symmetriegründen und mit der Multiplikationsregel gilt:

$\begin{eqnarray*} \left |A_1 \right |=\left | A_2 \right |=\left | A_3 \right | = \binom{4}{4}\binom{28}{6}\binom{22}{10}\binom{12}{10}\binom{2}{2}<br /> \end{eqnarray*}$

3.Frage: Die Werte der Binomialkoeffizienten verstehe ich überhaupt nicht. Die sind doch wohl nicht trivial oder?

Bin für jeden Hinweiß dankbar.

26.01.2015, 15:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathelover
Frage: Welchen Einfluss hat der Hinweis: zwei Karten kommen in den Skat, auf meine Berechnungen?

Das ist nun mal beim Skatspiel so: Wenn drei Spieler jeweils 10 Karten bekommen, bleiben zwei übrig. Kein Grund für irgendwelche Grübeleien. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mathelover
Erste Frage: Wie kommt man auf diese Menge Omega? Warum enthält sie diese 4 Teilmengen? Das versteh ich nicht.

Es ist eine Wahl des W-Raumes, die die Kartenvergabe an die Spieler 1,2,3 sowie den Skat (10+10+10+2 Karten) informationsmäßig voll erfasst - nicht mehr und nicht weniger.

Zitat:

Original von Mathelover
Was genau wird hier gemacht? Das sind doch die verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten von der Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ oder?

Es ist die Mächtigkeit der Menge $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ - steht doch so da mit dem Gebrauch von $\begin{align*} |\ldots| \end{align*}$ . Es sind jeweils Auswahlmöglichkeiten ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: Für den ersten Spieler noch 10 aus 32 Karten, für den zweiten (nach Abzug der Karten für Spieler 1) noch 10 aus 22 Karten, für den dritten dann 10 aus 12 Karten, und für den Skat 2 aus 2 Karten. Letzteres ist natürlich im eigentlichen Sinne keine Wahl mehr, es gibt nur die eine Möglichkeit der beiden übrigen Restkarten - was sich ja aber dann auch in dem $\begin{eqnarray*} \binom{2}{2}=1 \end{eqnarray*}$ äußert.

Zitat:

Original von Mathelover
3.Frage: Die Werte der Binomialkoeffizienten verstehe ich überhaupt nicht. Die sind doch wohl nicht trivial oder?[/B]

$\begin{align*} \binom{4}{4} \end{align*}$ ist die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten von 4 aus 4 Buben. $\begin{align*} \binom{28}{6} \end{align*}$ ist die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten der 6 anderen Karten aus den 28 Nicht-Buben. Die Karten für Spieler 2 und 3 sowie den Skat können beliebig aus der Restmenge gewählt werden, somit tauchen dieselben Faktoren $\begin{align*} \binom{22}{10}\binom{12}{10}\binom{2}{2} \end{align*}$ wie schon bei $\begin{align*} |\Omega| \end{align*}$ .

26.01.2015, 15:50

Mathelover

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Achso, ich wusste gar nicht, dass bei einem Skatspiel jeder Spieler 10 Karten erhält. Hätte ich wohl vorher lieber google sollen.
Jetzt macht natürlich vieles mehr Sinn, als vorher.

Ich danke dir für deine ausführliche Antwort HAL 9000. Freude

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