exp(-1/x^2) stetig

26.01.2015, 17:23

Pauls

exp(-1/x^2) stetig

Man zeige, dass die Funktion
a)stetig
b)diffbar ist

$\begin{eqnarray*} \phi(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{für } x = 0 \\ exp(-1/x^2), & \mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

a) beim epsilon-delta kriterium, scheitere ich daran, ein delta sofinden
gibt es andere leichtere lösungs Möglichkeit das Problem zu lösen ?

26.01.2015, 17:35

IfindU

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RE: exp(-1/x^2) stetig
Du kannst Epsilon Delta "explizit" angeben.

Dazu bemerke, dass es für alle Epsilon ein $\begin{eqnarray*} M_0 > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, s.d. $\begin{eqnarray*} \exp(- M ) < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} M > M_0 \end{eqnarray*}$ . Als nächstes, dass es ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gibt s.d. $\begin{eqnarray*} \frac 1 {x^2} > M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} -\delta < x < \delta \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Beides zusammen genommen ergibt dann die Stetigkeit.

28.01.2015, 12:58

Pauls

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Das wäre so mein erster Vorschlag
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt(\left |\ln(\epsilon ) \right |)} < M , \delta < M \end{eqnarray*}$

28.01.2015, 13:08

IfindU

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RE: exp(-1/x^2) stetig
Du willst eigentlich
$\begin{eqnarray*} \frac 1 { \sqrt { |\ln(\epsilon)|}} > M , \delta < M \end{eqnarray*}$ ,
also
$\begin{eqnarray*} \delta < \frac 1 { \sqrt { |\ln(\epsilon)|}} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du nur beweisen, dass $\begin{eqnarray*} |x| < \delta \implies |\exp\left( - \frac 1 {x^2} \right) | < \epsilon \end{eqnarray*}$

28.01.2015, 21:48

Pauls

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt(\left |\ln(\epsilon ) \right |)} < M , \delta < M \end{eqnarray*}$

ich wollte das so umsetzten
$\begin{eqnarray*} \left | x \right |< \delta <M , -\frac{1}{x^2}<-\frac{1}{\delta^2}<-\frac{1}{M^2}<\frac{1}{M^2}<\left |\ln(\epsilon ) \right | \end{eqnarray*}$

und dann nach die Monotonie der e-funktion benutzen

das ist Unsinn oder?

28.01.2015, 23:35

IfindU

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Das ist genau die Idee, aber die vorletzte Ungleichung ist viel zu hart. Du willst es direkt gegen $\begin{eqnarray*} - | \ln(\epsilon)| = \ln(\epsilon) \end{eqnarray*}$ abschätzen!

Edit: Die letzte Gleichung gilt "nur" für $\begin{eqnarray*} 0 < \epsilon \leq 1 \end{eqnarray*}$ , aber genau das sind die Interessanten.

29.01.2015, 00:37

Pauls

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Zitat:

Original von IfindU
Das ist genau die Idee, aber die vorletzte Ungleichung ist viel zu hart. Du willst es direkt gegen $\begin{eqnarray*} - | \ln(\epsilon)| = \ln(\epsilon) \end{eqnarray*}$ abschätzen!

Edit: Die letzte Gleichung gilt "nur" für $\begin{eqnarray*} 0 < \epsilon \leq 1 \end{eqnarray*}$ , aber genau das sind die Interessanten.

Ja genau so habe ich mir auch gedacht!

Denn wäre $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ größer als 1 dann ist die Bedingung automatisch erfüllt
denn für alle x

e^\frac{1}{-x^2}<1

also habe ich mich auf den Fall $\begin{eqnarray*} 0 < \epsilon \leq 1 \end{eqnarray*}$ begrenzt

29.01.2015, 09:13

IfindU

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Das ist in dem speziellen Fall 'explizit' wahr, aber die Begründung gilt allgemeiner. Falls du es für alle Epsilon zwischen 0 und 1 gezeigt hast, heißt es du hast ein Delta > 0 (abhängig von Epsilon) gefunden, s.d. $\begin{eqnarray*} | x - y| < \delta_\epsilon \implies |f(x) - f(y)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Wenn du jetzt ein Delta für große Epsilon suchst, kannst du einfach ein Delta für ein kleines Delta nehmen und bekommst
$\begin{eqnarray*} |x - y| < \delta_{\frac 1 2 } \implies |f(x) - f(y)| < \frac 1 2 < \epsilon_{\text{sehr gross}} \end{eqnarray*}$ .

29.01.2015, 14:02

Pauls

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RE: exp(-1/x^2) stetig

Zitat:

Original von IfindU
Du willst eigentlich
$\begin{eqnarray*} \frac 1 { \sqrt { |\ln(\epsilon)|}} > M , \delta < M \end{eqnarray*}$ ,

tut mir leid, ich bin verwirrt, kannst du bitte zeigen, wie du auf die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac 1 { \sqrt { |\ln(\epsilon)|}} > M \end{eqnarray*}$

gekommen bist und die Beweis so allgemeiner aussieht

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