[Stationäre Prozesse] wie muss die Verteilung aussehen?

26.01.2015, 17:40	TeChierys	Auf diesen Beitrag antworten »
[Stationäre Prozesse] wie muss die Verteilung aussehen? Ich stoße hier auf Unklarheiten. Anscheind habe ich irgendwas nicht verstanden. Es wurde eine rekursive Folge $\begin{eqnarray} \\ X_{k+1}=4X_k(1-X_k) , \ k \geq 1 \\ \end{eqnarray}$ gegeben. Gesucht ist die Verteilung des Startpunkts $\begin{eqnarray} X_0 \end{eqnarray}$ so, dass die Folge stationär ist. Man setzt ja Stationärität voraus und formuliere die schwächere Version: $\begin{eqnarray} \int X_0 d\mu = \int 4X_0(1-X_0) d\mu \end{eqnarray}$ leider lande meine Gedanken danach immer wieder in Fixpunktsuche. Kann mir da jmd mal helfen?
26.01.2015, 19:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt hier "die Verteilung" ? Es gibt ja bereits mehrere konstante (d.h. deterministische) Lösungen: $\begin{align} X_0 = 0 \end{align}$ sowie $\begin{align} X_0 = \frac{3}{4} \end{align}$
26.01.2015, 21:51	TeChierys	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich Fixpunktsuche gemeint. Ich war schon bei diesen Lsgen. Aber ich suche ja die Verteilung also das Maß von der Zufallsvariable X_0. Oder gewährt mir die Stationärität, dass alle Zufallsvariable fast sicher gleich sind?
27.01.2015, 08:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend hast du mich nicht richtig verstanden: Ich wollte darauf hinaus, dass es "die Verteilungen" heißen muss, denn es gibt offenkundig nicht nur eine Lösung. Die beiden konstanten Lösungen sind zugleich auch Verteilungen, nämlich Einpunktverteilungen in den genannten Punkten. Darüber hinaus ist auf jeden Fall auch jede denkbare Zweipunktverteilung $\begin{align} X_0 = \frac{3}{4}\cdot 1_A \end{align}$ auf $\begin{align} \left\{ 0, \frac{3}{4} \right\} \end{align}$ auch eine stationäre Lösung. Das sind aber beileibe nicht die einzigen Lösungen: Z.B. auch die Zweipunktverteilung $\begin{align} P\left( X_0 = \frac{5-\sqrt{5}}{8} \right) = P\left( X_0 = \frac{5+\sqrt{5}}{8} \right) = \frac{1}{2} \end{align}$ ist stationär bzgl. $\begin{align} X_{n+1} = 4X_n(1-X_n) \end{align}$ . Gibt es also irgendwelche zusätzlichen Forderungen, die du an die Lösungen stellst?
27.01.2015, 14:06	TeChierys	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha! Jetzt verstehe ich. Es werden aber keine weitere Voraussetzung für die Aufgabe gestellt. Im Rahmen der Ergodentheorie kann (soll/muss?) ich eine maßerhaltende Transformation $\begin{eqnarray} T: \Omega \to \Omega, \ x \mapsto 4x(1-x), \ \Omega=\{0, 1\} \end{eqnarray}$ und eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray} Y: (\Omega, F, P) \to (E, \Sigma) \end{eqnarray}$ bilden, für die genügt die Darstellung: $\begin{eqnarray} X_0=Y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_1=Y T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_2=X_1 T \end{eqnarray}$ usw. der Stätionärität (Vgl. Seite 1 math.tu-berlin(dot)de/Vorlesungen/WS11/WT2/stationaere_prozesse(dot)pdf ) Ich habe versucht, T die maßerhaltende Verschiebungsabbildung zu definieren, d.h. $\begin{eqnarray} T(x)=4x(1-x) \end{eqnarray}$ Dann kann ich für $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ einfach eine beliebige Konstante zuzuordnen. Jedoch krieg ich es nicht hin, die maßtreue Eigenschaft von solcher T zu zeigen... Diese Überlegung hat mich das folgende Skript inspiriert....Aber ich verstehe nicht, wie ich zu der Dichte komme.... (Seite 21 Beispiel 5 mathematik.uni-wuerzburg(dot)de/~steuding/ergodic-final2(dot)pdf)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »