Schachbrettaufgabe

26.01.2015, 22:06	h2oKOPF	Auf diesen Beitrag antworten »
Schachbrettaufgabe Moin zusammen, nach jahrelanger erfolgreicher Nutzung der Suchfunktion finde ich nun mal keine Antworten. Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe: Schachbrett mit 8 Spalten, 8 Zeilen, 64 Feldern. a) Es werden 4 Türme zufällig aufgestellt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle Türme in der selben Spalte stehen. b)Es werden 8 Bauern zufällig aufgestellt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass in keiner Spalte und in keiner Zeile mehr als ein Bauer steht. c) Es werden König und Dame zufällig aufgestellt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass König und Dame in benachbarten Spalten stehen. zu a: Ich habe mich überlegt, dass die Anzahl aller Möglichkeiten ja gerade $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 64\\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist. Pro Spalte gibt es dann ja gerade $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 8\\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten, die Vier Türme anzuordnen. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Es gibt $\begin{eqnarray} 8 \begin{pmatrix} 8\\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten die Türme zu positionieren, wenn sie in einer Spalte stehen sollen. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit ja gerade $\begin{eqnarray} P(a) = 8* \frac{\begin{pmatrix} 8\\ 4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 64\\ 4\end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ . zu b: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 64\\ 8\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist hier die Anzahl aller Möglichkeiten. Für den ersten Turm gibt es 8 mögliche Positionen, für den nächsten nur noch 7 usw. $\begin{eqnarray} \Rightarrow P(b) = \frac{8!}{\begin{pmatrix} 64\\ 4\end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$ zu c: Hier fehlen mir glaube ich total die Ansätze. Habe mir das für eine Zeile versucht zu veranschaulichen, in der es ja sieben mögliche Positionen für König,Dame und eben nochmal 7 für Dame,König gibt. Das auf das gesamte Brett zu verallgemeinern ist mir nicht gelungen. Meine Frage ist also: sind a und b richtig und wie komm ich bei c weiter?
27.01.2015, 10:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Korrekt. b) Ich nehme an, dass du dich verschrieben hast und du stattdessen $\begin{align} \frac{8!}{\binom{64}{{\color{red}8}}} \end{align}$ meinst? Das wäre richtig. Zu c) Es ist erst mal unwichtig, dasss es König/Dame sind, es geht lediglich um zwei zufällig auf die 64 Felder platzierte Figuren, dafür gibt es $\begin{align} \binom{64}{2} \end{align}$ Auswahlmöglichkeiten (ohne Unterscheidbarkeit der beiden). Für die Wahl von zwei Nachbarspalten gibt es 7 Möglichkeiten (12,23,...,78) ... den Rest kriegst du selber hin.
27.01.2015, 21:17	h2oKOPF	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das in b war ein copy-paste-fehler :-) Okay ich versuche es mal... Für die Möglichkeit (12) gibt es ja 8^2 mögliche Aufstellungen, da die Figuren in jeder Spalte an 8 verschiedenen Stellen stehen können. Diese Möglichkeiten gibt es für jede der 7 Varianten. $\begin{eqnarray} \Rightarrow P(c) = \frac{78^2}{\begin{pmatrix} 64 \\ 2\end{pmatrix}} = \frac{448}{2016} \end{eqnarray*}$
27.01.2015, 21:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis stimmt zwar, aber ich würde mir eine deutlich besser gekürzte Ergebnisdarstellung wünschen.
27.01.2015, 21:58	h2oKOPF	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, der Vollständigkeit halber $\begin{eqnarray} P(c) = \frac{448}{2016} = \frac{2}{9} \end{eqnarray}$
27.01.2015, 21:59	GastStochastiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Möglichkeit (12) gibt es doch 278^2 Möglichkeiten und nicht nur 7*8^2 oder? König und Dame sind ja unterscheidbar?
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27.01.2015, 22:02	GastStochastiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, hab überlesen dass ihr die beiden Firguren als ununterscheidbar annehmt und dementsprechend auch die Gesamtanzahl berechnet. Passt schon!

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