Relative Extrema am Halbkreis

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pimpel Auf diesen Beitrag antworten »
Relative Extrema am Halbkreis
Hallo,

gegeben ist folgende Funktion: f(x,y)=xy^2+3

in einer Unteraufgabe wird folgende Frage gestellt: "Welche Punkte auf dem Halbkreis um den Ursprung y≥0 und dem Radius r=2 kommen als relative Extrema der Aufgabe in Frage?"

Das Bestimmen der Extrema der Funktion ist kein Problem. Mir fehlt ganz einfach ein Ansatz zum Lösen dieser "Halbkreis-Aufgabe". Hat jemand eine Idee?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Setze in die Funktion f(x,y)=xy²+3 anstelle von x,y folgende Funktionen ein, die den Halbkreis beschreiben




Damit bekommst du eine Funktion f die nur vom Winkel abhängt. Ableiten nach und Null setzen liefert das Gewünschte.
----------------------
Beim Halbkreis ist folgendes zu beachten: Am Anfang bzw. am Ende des Halbkreises kann ein Extremum vorliegen, obwohl dort die 1.Ableitung nicht verschwindet. Das musst du prüfen.
pimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ehos
Setze in die Funktion f(x,y)=xy²+3 anstelle von x,y folgende Funktionen ein, die den Halbkreis beschreiben




Damit bekommst du eine Funktion f die nur vom Winkel abhängt. Ableiten nach und Null setzen liefert das Gewünschte.
----------------------
Beim Halbkreis ist folgendes zu beachten: Am Anfang bzw. am Ende des Halbkreises kann ein Extremum vorliegen, obwohl dort die 1.Ableitung nicht verschwindet. Das musst du prüfen.


Danke für die schnelle Antwort.

Zwei Fragen: woher hast Du die Funktionen, die den Halbkreis beschreiben? Ich habe dazu im Netz auf die Schnelle nichts gefunden. Und zweitens: x_m und y_m sind die Extrema, die ich nach den üblichen Verfahren aus f(x,y) erhalten habe, d.h. ein konkreter Wert, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pimpel
Zwei Fragen: woher hast Du die Funktionen, die den Halbkreis beschreiben?

Das hat was mit Polarkkordinaten zu tun. Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/ Polarkoord...<br /> rdinaten

Zitat:
Original von pimpel
Und zweitens: x_m und y_m sind die Extrema, die ich nach den üblichen Verfahren aus f(x,y) erhalten habe, d.h. ein konkreter Wert, oder?

Nein, x_m und y_m sind die Koordinaten des Mittelpunkts des Halbkreises. smile

Und bitte keine Komplettzitate. Wir können ja sehen, was vorher gesagt wurde.
pimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, also ich habe mich mal an das Einsetzen und das Ableiten gemacht und bin zu einem ziemlich undurchsichtigen Konvolut gelangt, das zu lösen mir nicht möglich erscheint. Ich habe die Ableitung 0 gesetzt und ein bisschen gekürzt, komme aber im letzten Punkt nicht weiter, da ich nicht weiß, wie ich nach dem Winkel umstellen soll.

Meine Rechnung habe ich in den Anhang verpackt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da du einen Halbkreis um den Urspung hast, solltest du dir mal Gedanken machen, welche Werte x_m und y_m haben.
Außerdem hast du dann eine Funktion in den Variablen r und phi. Also brauchst du die partiellen Ableitungen nach diesen Variablen. smile
 
 
pimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt und da ich den Radius ja auch habe, kann ich diesen doch auch gleich einsetzen und habe demnach eine Funtkion mit einer Variablen, phi, oder?

Ausgehend davon habe ich es weiter gerechnet, habe aber Probleme die beiden letzten Terme zusammen zu fassen, umschließlich nach phi umzustellen.

EDIT (mY+): PDF's erst herunterladen zu müssen, ist nicht so der Gag. Hänge besser eine Grafik an deinen Beitrag an!

[attach]36982[/attach]
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: Ersetze vor dem Ableiten:

mY+
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pimpel
Stimmt und da ich den Radius ja auch habe, kann ich diesen doch auch gleich einsetzen und habe demnach eine Funtkion mit einer Variablen, phi, oder?

Hm. verwirrt Ist denn nun mit "Halbkreis" die gesamte Fläche oder nur der Halbkreisbogen gemeint?
pimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, bevor ich jetzt wieder versuche abzuleiten, um vom Hundertsten ins Tausendste zu kommen: ist das soweit erstmal ok?

Edit (mY+): Sag mal, ..... du solltest die Grafik an deinen Beitrag anhängen, NICHT das PDF!


[attach]36991[/attach]


Zitat:
Original von klarsoweit
Hm. verwirrt Ist denn nun mit "Halbkreis" die gesamte Fläche oder nur der Halbkreisbogen gemeint?


Ich tippe auf Letzteres. Ich habe die Aufgabenstellung im Eingangspost wortwörtlich wieder gegeben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Konvention ist, dass mit "auf dem (Halb-)Kreis" nur die Kreislinie gemeint ist. Ansonsten sollte man besser von (Halb-)Kreisfläche oder -scheibe reden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pimpel
Ok, bevor ich jetzt wieder versuche abzuleiten, um vom Hundertsten ins Tausendste zu kommen: ist das soweit erstmal ok?

Bis auf das eine x, ja. smile

Zitat:
Original von pimpel
Ich tippe auf Letzteres. Ich habe die Aufgabenstellung im Eingangspost wortwörtlich wieder gegeben.

OK, dann ist das mit r=2 ok. (HAL9000 ist ja auch der Meinung.) smile
pimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit

OK, dann ist das mit r=2 ok. (HAL9000 ist ja auch der Meinung.) smile


Ok. Danke soweit. Ich habe jetzt weiter gerechnet.

Und bin zu folgendem Resultat gekommen:

Edit (mY+): Jetzt ist es mir zu dumm. Ich habe das PDF entfernt. Ich habe dir ausführlich - per PN! - geschrieben, wie man die Grafik anhängt, du hast aber nicht mal geantwortet.
Ich muss dies leider als Ignoranz auffassen, auch wenn du es vielleicht nicht so gemeint hast, zumindest ist es unhöflich. Die Grafik habe ich für den Bedarfsfall bei mir gesichert.


[attach]37017[/attach]

Edit (mY+): Offensichtlich macht dies bei dir Probleme, deshalb stelle ich mal das Bild für dich ein; schauen wir einmal, dass die Aufgabe richtig zu Ende geht und dann kann das mit der Grafik immer noch versucht werden.

An diesem Punkt weiß ich nicht, wie ich nach dem Winkel phi aufzulösen habe.

Ist es weiterhin richtig, nachdem ich durch sin(phi) gekürzt hatte, für "phi ungleich 180Grad" zu definieren?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einem Halbkreis hast du . Du kannst also nicht 0 oder pi einfach ausschließen, sondern sagen, daß diese Werte mögliche Lösungen der Gleichung sind. Für phi ungleich 0 bzw. pi kannst du dann deine weitere Rechnung machen.
In der letzten Gleichung kannst du cos(phi) = u substituieren. Dann hast du eine quadratische Gleichung. Augenzwinkern
pimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok und danke erstmal.

Ich habe dann für phi schlussendlich ca. 65.5Grad erhalten, ausgehend von u=cos(phi) mit u^2+2u-1=0.

Diese Lösung würde ich dann grundsätzlich in x=2cos(phi) und y=2sin(phi) einsetzen, um eben x und y zu berechnen.

Vorher müsste ich aber noch die hinreichende Bedingung untersuchen, d.h. phi in der zweiten Ableitung einsetzen.

ich habe:

f''(phi=65.5)=-4sin(phi=65.5)=-3.6398.. und damit ist phi=65.5 ein Maximum und die entsprechenden y-/x-Werte ebenso. Gesetz dem Fall ich habe mich nicht verrechnet.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pimpel
...
Ich habe dann für phi schlussendlich ca. 65.5Grad erhalten, ausgehend von u=cos(phi) mit u^2+2u-1=0.

Bereits dies stimmt nicht.

mY+
pimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos

Bereits dies stimmt nicht.

mY+


Hm, dann bin ich überfragt, wo der Rechenfehler liegt. Habe es jetzt zigmal durchgerechnet.

Ich erhalte für u=-1+/-sqrt(2), also cos(phi)=-1+/-sqrt(2) und damit phi=arccos(-1+/-sqrt(2))
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du es vom Anfang an mittels COS löst, erhältst du



oder


--------------------------

Beim Übergang zum SIN lautet die quadratische Gleichung



In beiden Fällen müssen natürlich die gleichen Resultate herauskommen.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Ableitung ist dir ein Fehler unterlaufen.
Du hast mittels der Produktregel abgeleitet und dabei die Ableitung von unrichtig. Dort hast du die äußere Ableitung bei der Kettenregel vergessen. Es ist also



Mein anfangs gegebener Vorschlag sollte noch weiter gerechnet werden, indem VOR der Ableitung ausmultipliziert wird:



Jetzt geht die Ableitung einfach gliedweise.
Aufpassen wieder beim 2. Summanden, da greift wieder die Kettenregel!

mY+
pimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt ist es mir um Einiges klarer.

Ich erhalte nach dem Ableiten 8=24(cos(phi))^2 und nach dem Ausrechnen für phi jeweils 70.5Grad und 104.47Grad (ausgehend von arccos(phi)=+/-sqrt(1/3). Für sin(phi)=0, eben phi=0.

Die Lösungen müsste ich dann in der zweiten Ableitung überprüfen, bei der ich - toi, toi, toi - Folgendes rausbekommen habe, gekürzt und zusammen gefasst:

f''(phi)= -8 + 24(cos(phi))^2-48(sin(phi)^2)

erhalten habe.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So weit ist es bis arccos .. richtig, aber 70,5° kriege ich damit nicht!
Sollten es nicht 54,7° und 125,3° sein? Die Winkel müssen supplementär sein, deine sind es ausserdem nicht.

Bemerkung: Die Lösungen müssen sich wie gesagt im Intervall befinden.

EDIT: Bei der 2. Ableitung musst du die komplette f ' nochmals ableiten, da habe ich denn auch etwas anderes!

mY+
pimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, ich bekomme für arccos(sqrt(1/3)=70.53 und für arccos(sqrt(-1/3))=109.47, diesen Rechner nutzend:

web.2.0rechner

Außerdem ergeben doch beide Winkel in Summe 180 bzw. haben den gleichen Abstand zu 90Grad, falls du das mit "supplementär" meintest.


Einen großen Dank im Übrigen nochmal für Deine große Geduld! Freude
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hattest doch 104,47 (!) geschrieben, mach' mir bitte nix vor Big Laugh
Supplementär heisst ergänzend auf 180°

Ausserdem sind und bleiben die 70,53° falsch!

EDIT: Ich habe es jetzt auch mit dem Web 2.0 gerechnet, ich bekomme auch dort das korrekte Ergebnis!

Und bei der 2. Ableitung musst du die komplette f ' nochmals ableiten, da habe ich denn auch etwas anderes!

mY+
pimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos

Überlege dir einmal, warum das passieren kann .. (ist der Rechner im richtigen Mode?)


Fehler gefunden, deine Ergebnisse sind verifiziert!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

OK, super.
Nun noch die 2. Ableitung richtig ...
Tipp: Wieder in COS umwandeln und ausmultiplizieren.

mY+
pimpel Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, meine erste Ableitung sah wie folgt aus:

f'(phi)=-8sin(phi)+24sin(phi)(cos(phi))^2

Man könnte es in SIN umwandeln durch (cos(phi))^2=1-(sin(phi))^2

damit:

f'(phi)=-8sin(phi)+24sin(phi)-(sin(phi))^3

f''(phi)=-8cos(phi)+24cos(phi)-cos(phi)3(sin(phi))^2=0 Edit: vor dem letzten Terme gehört natürlich eine "24" (24cos(phi)3(sin(phi))^2), damit:


0=-8 +24 -72(sin(phi))^2
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pimpel
...
Man könnte es in SIN umwandeln durch (cos(phi))^2=1-(sin(phi))^2

damit:

f'(phi)=-8sin(phi)+24sin(phi)-(sin(phi))^3
...

Das ist leider schon wieder falsch, bei der Umformung ist ein Fehler!
Ausserdem könnte man -8 .. + 24 .. zu +16 .. zusammenfassen.
Ich verstehe eigentlich nicht, warum du immer den komplizierteren Weg gehen willst, auf welchem die Fehler viel eher passieren.
Du weisst schon, dass es nur auf das Vorzeichen der 2. Ableitung ankommt, also kannst du positive Faktoren ausklammern, das ist hier die 8, es ist dann nur noch das Vorzeichen des Termes in der Klammer entscheidend.

Richtig wäre



Nun die Ableitung (der Klammer), SIN durch COS ersetzen, anstatt bzw. setzen.
--> Die zwei Lösungen haben unterschiedliche Arten des Extremums.

mY+
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