Beweise zu uneigentlich integrierbar

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Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise zu uneigentlich integrierbar
Meine Frage:
Hallo Leute,

ich bin zurzeit am verzweifeln.
Könntet ihr mir helfen?

Meine Ideen:
Ich habe keinen Ansatz und weiß auch nicht wie.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Was heißt es denn integrierbar zu sein? Was heißt es für eine Folge zu konvergieren?

Das sind elementare Definitionen, die du dir erst einmal klar machen sollst. Mit einfachen Rechenregeln für Integrale folgt dann schon a).

Also, wie lauten die Definitionen?
 
 
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Also integrierbar:
f heißt integrierbar, wenn die Funktion stückweise stetig ist. Man berechnet dann die Fläche in einem bestimmten Intervall.

konvergent: Wenn sich eine Folge einem bestimmten Grenzwert annähert, ist sie konvergent.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Nicht so präzise wie ich gerne hätte, aber vervollständigen wir das erstmal mit der Definition "uneigentlich integrierbar" zu sen.
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Also so:
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Sehr gut. D.h. unter den gegebenen Voraussetzungen gilt also
.

D.h. a) kannst du mit der rechten Formulierung bewesen statt mit "f ist integrierbar". Das ist dann fast nur Arbeiten mit der Definition der Folgenkonvergenz. Kommst du damit weiter? (Falls nein, such als aller erstes die exakte Definition zur Folgenkonvergenz raus).

Edit: Ich bin zumindest davon ausgegangen, dass das Integral endlich sein muss. Sonst wirkt Aufgabe 1a ziemlich falsch.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hilfreich ist sicher, zur Integralfunktion überzugehen, und in dem Zusammenhang dann zu nutzen - dann ist der Integralteil nämlich abgehakt und man ist beim "normalen" Konvergenzbegriff (Cauchy, etc.) angelangt. Augenzwinkern
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
entschuldige, aber ich möchte auf nummer sicher gehen.
So?
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok,
das weiß ich zu Integralen und zur Stammfunktion.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Richtig. Dir sollte auffallen, dass du nach Voraussetzung eine konvergente Folge hast und daraus einen Term durch Epsilon abschätzen sollst, genau über diese Definition gehen muss.

Es gibt noch die allgemeinere Definition die du bräuchtest. Nämlich dass existiert, falls für alle Folgen mit existiert und immer den gleichen Grenzwert liefert.

Edit: Was HAL9000 gepostet hat, ist mehr eine einfache Rechenregel für Integrale.
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
stimmt weil bei integrierbarkeit muss der grenzwert ja auch existieren oder?
Also müsste ich sozusagen den teil vor dem epsilon mit dem Integral "nachrechnen"?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Hier hilft HALs Darstellung nun weiter. Formulier am besten sowohl

und die Ungleichung auf dem Aufgabenzettel in die Schreibweise der F. Das Ziel der Notatiton ist nämlich, dass wir das Integral "verstecken" können und nur mit abstrakten Zahlen arbeiten.

Die Hauptidee ist: Wenn das Integral existiert, so kann "im unendlichen" (aka weit auf der rechten Achse) sich nicht viel Fläche befinden. Das ist die wörtliche Formulierung der zu zeigenden Äquivalenz.
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Also so?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Das erste natürlich für alle Epsilon > 0 existiert x_0 s.d. für alle x,y > x_0 die Ungleichung gilt.

Und das zweite ist natürlich noch nicht in F formuliert. Nenne . Das ist dann einfach nur eine Zahl (deren Existenz zu zeigen ist).
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
ich probiere mal und lade es dann hoch. Ok?
Kannst du dann drüber schauen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Klar. Eigeninitiative wird hier immer geschätzt.
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
So ich hoffe es geht so. Habe ich auch keine Variablen falsch?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Sehr schön. Natürlich gehört technisch gesehen dazu, dass f auf allen Kompakta bereits integrierbar war.

Ich sehe zumindset keinen Fehler.
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
steht das mit f nicht in der aufgabe?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Technisch gesehen gehört zu dem Beweis zu sagen was f ist. Es würde reichen wenn du sowas schreibst wie "Sei f wie in der Aufgabe". Nur damit klar ist, dass es das ist, und nichts anderes.
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
ach so. Das kann ich ja noch ergänzen
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
für b) habe ich auch eine idee. ich probiere auch mal und lade wieder hoch
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
also bei b) dachte ich an das Majorantenkriterium bei Integralen. Nur ich weiß nicht wie
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Definiere dir . Du willst zeigen, dass der Grenzwert für x gegen unendlich existiert. Dazu kannst du den Satz der monotonen Konvergenz benutzen.

Für das F wie vorher ist es etwas kniffliger. Dafür würde ich den ersten Teil benutzen und mit
dann ausnutzen, dass g integrierbar war.

Edit: Oder natürlich
, dessen uneigentliche Integrabilität wir nun wissen.
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
also hierbei stehe ich auf dem schlauch.
Könntest du mir noch helfen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Du wirst schon präziser nachfragen müssen. Wo hackt es denn?
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
den hinweis den du mir gegeben hast.
Ich weiß nicht wie der mir hilft und wie genau ich es mir definieren soll
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Der erste Hinweis war um zu zeigen, dass |f| uneigentlich integrierbar ist. Dafuer habe ich bereits die Funktion G definiert, analog zu HALs Funktion F. Nun ist |f| uneigentlich integrierbar, falls der Grenzwert G(x) für x gegen unendlich existiert.

Soweit klar?
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
ja soweit klar
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Was musst du also zeigen damit |f| integierbar ist, und wie kannst du es zeigen? (Siehe meine vorherigen Beiträge.)
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
und der grenzwert exisitiert weil es uneigentlich integrierbar ist?
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
aber wie schreibt man es formal auf?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Kommt stark drauf an, was du aufschreiben willst...
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
ich habe das gerade gefunden. Hilft mir das?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Natürlich "hilft" dir das, weil es das ist was du zeigen musstest und noch ein wenig mehr.
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
aber ist das für beides was ich zeigen muss?
also das uneigentlich integrierbar und die ungleichung?
Da fehlt doch was
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Die Ungleichung folgt sofort aus und der Monotonie des Integrals. Das ist der uninteressante Teil der Aussage.
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
also ist das etwa die Lösung?
Fruehstudent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
muss ich da noch was ergänzen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zu uneigentlich integrierbar
Bitte versuch Doppelposts zu vermeiden, das Forum ist nicht als Chat gedacht.

Die Aufgabe wurde dir gestellt, weil man davon ausgeht, dass du sie lösen kannst. Nun hast du eine Lösung zu einer wenigstens extrem ähnlichen Aufgabe gefunden. Zu überprüfen wie ähnlich die Aufgaben sind, ob der Beweis auch für deine Aussage passt ist wohl das Mindeste.

Ich steh dir dabei gerne zur Seite, aber ich werde dir die Arbeit nicht abnehmen.
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