Wärmeleitung in einer Wand

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Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »
Wärmeleitung in einer Wand
Meine Frage:
Hallo Zusammen

Die Wärmeleitungsgleichung ist ja die lineare partielle DGL



Gesucht ist der Temperaturverlauf u(x,t) in einer Wand bei vorgegebenen konstanten Aussen- und Innentemperaturen , und bekannter, nur von x abhängiger Anfangstemperatur

Die Randbedingungen sind hier ja nicht homogen, und um ein Problem mit homogenen Randbedingungen zu erhalten wird in meinem Skript vorgeschlagen, eine stationäre Lösung zu subtrahieren.

Weiter steht, dass die stationären Lösungen der partiellen DGL gegeben sind durch


Es wird der Ansatz gemacht:



wobei



Kann mir jemand verraten, wie ich auf die Gleichung für u*(x) komme?

Meine Ideen:
Ich habe beim besten Willen keine Ahnung. Vielen Dank!


EDIT: Die Frage hat sich gerade erledigt, habe herausgefunden wie ich auf die Gleichung komme smile Kann man eigene Beiträge eigentlich nicht irgendwie löschen?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Temperaturverlauf in einer Wand der Dicke a wird beschrieben durch die homogene Wärmeleitungsgleichung



Innentempertaur:
Außentempertaur:
Anfangstemperatur:

Wie du richtig schreibst, muss man zu Beginn die Randbedingungen homogenisieren, weil man sonst nicht nach Eigenfunktionen entwickeln kann. Die Homogenisierung der Randbedingungen geschieht durch folgenden Trick: Anstelle der Funktion u(x,t) führt man eine neue Funktion v(x,t) ein, indem man folgende Transformation verwendet



Die beiden hinzugefügten Summanden sind eine linearen Ortsfunktion mx+n. Der Sinn dieser Transformation ist, dass sich nach Einsetzen dieses Ansatz in die obigen Rand- und Anfangsbedingungen neue Randbedingungen ergeben, die homogen sind:

Innentempertaur:
Außentempertaur:
Anfangsbedingung:

Eine kurze Zusammenfassung dieser 3 Formeln liefert tatsächlich homogene Randbedingungen und eine etwas andere Anfangsbedingung für die neue Variable v(x,t):

Innentempertaur:
Außentempertaur:
Anfangsbedingung:

Die Differenzialgleichung ändert sich durch den obigen Ansatz nicht, denn Einsetzen des Ansatzes liefert folgende Differenzialgleichung für die neue Variable v(x,t)



Da der Summand nicht von der Zeit abhängt und nur eine lineare Funktion mx+n des Ortes ist, verschwindet dessen 1.Zeit- und 2.Ortsableitung, so dass die neue Dgl. lautet



Nun kann man die Funktion v(x,t) mit der Fourrierschen Methode berechnen (Entwicklung nach Eigenfunktionen). Am Ende gewinnt man die ursprünglich gesuchte Temperaturverteilung u(x,t) durch Rücktransformation mit dem obigen Ansatz.
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