Lineares Gleichungssystem

27.01.2015, 20:15

krosh

Lineares Gleichungssystem

Hey,

ich stehe vor folgender Aufgabe :
$\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1;x2;x3;x4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I:2 -1 +a +5 = a - 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II:1 + 2 +3a+10 = 3a-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III:1 + 0 + b^2+(2a+3) = 3a-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IV:0+2+2a+(4a+a) = 6a-6 \end{eqnarray*}$

Ich habe es soweit umgeformt, das ich in der III und IV Zeile folgendes stehen habe:
$\begin{eqnarray*} III:0+0+(b^2-a)+(6a-3)=6a-17 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IV 0+0+0+(20a-10)=20a-10 \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ hätte ich eine Nullzeile, daraus würde sich, nach einsetzen in Zeile III, ein Wiederspruch ergeben. (Fall 1)
Im Fall 2 hab ich vorrausgesetzt das $\begin{eqnarray*} b^2-\frac{1}{2} \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Mein LGS sieht jetzt so aus:

$\begin{eqnarray*} b^2-\frac{1}{2} \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I':2 -1 +0,5 +5 = -5,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II':0 + 5 +2,5+15 = -7,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III':0 + 0 + (b^2-0,5)+0 = -14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IV':0+0+0+0 = 0 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich leider keine Idee wie ich fortfahren soll. Ich kann mir schon denken, das für x1,x2,x3,x4 keine "schönen" Ergebnise rauskommen sondern etwas wie x1=2,5-4a rauskommt (nur ein Beispiel)
Nachdem ich das gemacht hab, brauche Ich natürlich noch den 3. Fall $\begin{eqnarray*} a\neq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , aber soweit bin ich noch nicht.

Ich hoffe man kann die Aufgabe erkennen, habe sie leider nicht besser schreiben können.

27.01.2015, 22:18

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & a & 5 & a-6 \\1 & 2 & 3a & 10 & 3a-8 \\ 1 & 0 & b^2 & 2a+3&3a-3 \\ 0 & 2 & 2a &5a & 6a-6 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

kontrolliere nochmals die Matrix, und $\begin{eqnarray*} a_{44}=4a+a \end{eqnarray*}$ ???

und verwende die Vorlage.

28.01.2015, 00:35

krosh

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Oh ja, mein Fehler! Da habe ich mich wohl vertippt. Hier jetzt richtig:

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & a & 5 & a-6 \\1 & 2 & 3a & 10 & 3a-8 \\ 1 & 0 & b^2 & 2a+3&3a-3 \\ 0 & 2 & 2a &4a+4 & 6a-6 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Wo ich nicht weiter komme:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & 0,5 & 5 & -5,5 \\0 & 5 & 2,5 & 15 & -7,5 \\ 0 & 0 & b^2-0,5 & 0&14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

28.01.2015, 01:47

Dopap

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Leider kann ich deine Rechnung bis hier nicht nachvollziehen. Hier mal meine Rechnung:

L=Line

1.) L2:=2L2-L1
2.) L3:=2L3-L1
3.) L3:=5L3-L2
4.) L4= 5L4-2L2

nach sinnvollem Dividieren:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 2 & -1 & a & 5 & -a-6 \\0 & 1 & a & 3 & a-2 \\ 0 & 0 & b^2-a & 2a-1 &2a+1 \\ 0 & 0 & 0 & 2a-1 & 2a-1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

bis jetzt sind a,b noch uneingeschränkt. Welche Fälle kann man jetzt ablesen ?

28.01.2015, 13:45

krosh

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Morgen auch, hab es gestern leider nicht mehr geschafft das nochmal durchzugehen, war zu müde.

also für $\begin{eqnarray*} a= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2= a \end{eqnarray*}$ hätte man in L4 eine Nullzeile und in L3 einen Widerspruch.

28.01.2015, 14:00

Dopap

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stimmt. Ich nehme an, dass du die Lösungsmenge in Abhängigkeit von a,b beschreiben sollst , evtl. ist die Lösungsmenge auch anzugeben.

28.01.2015, 14:12

krosh

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Trotzdem steh ich gerade auf dem Schlauch. Hammer

also ich habe fogende Möglichkeiten:

1.Fall $\begin{eqnarray*} a= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2= a \end{eqnarray*}$
Widerspruch in 3, LGS nicht lösbar.

2. Fall $\begin{eqnarray*} a= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2-a \neq 0 \end{eqnarray*}$ hätte ich drei Gleichungen, und vier Unbekannte.
Hier habe ich keinen Ansatz.

3. Fall $\begin{eqnarray*} a\neq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2= a \end{eqnarray*}$
Widerspruch, LGS nicht lösbar. siehe 2. Fall

4. Fall $\begin{eqnarray*} a\neq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2-a \neq 0 \end{eqnarray*}$
Hier glaube ich würde ich was rausbekommen, hab es noch nicht Probiert.

Trotzdem macht mir der 2. Fall Probleme, würde mich über einen Ansatz oder Tipp freuen.

Man soll angeben für welche paare (a,b) es keine, genau eine bzw. unendlich viele Lösungen gibt.

28.01.2015, 17:06

Dopap

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Zitat:

Original von krosh

1.Fall $\begin{eqnarray*} a= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2= a \end{eqnarray*}$
Widerspruch in 3, LGS nicht lösbar.

in Ordnung.

Zitat:

2. Fall $\begin{eqnarray*} a= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2-a \neq 0 \end{eqnarray*}$ hätte ich drei Gleichungen, und vier Unbekannte.
Hier habe ich keinen Ansatz.

?? wie wäre es mit einer einer eindimensionaler Lösungsmenge? ( Gerade im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ )

Zitat:

3. Fall $\begin{eqnarray*} a\neq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2= a \end{eqnarray*}$
Widerspruch, LGS nicht lösbar. siehe 2. Fall

falsch. $\begin{eqnarray*} x_4=1 \quad und \quad x_3 \end{eqnarray*}$ ist frei wählbar. Die Lösungsmenge ist eindimensional

Zitat:

4. Fall $\begin{eqnarray*} a\neq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2-a \neq 0 \end{eqnarray*}$
Hier glaube ich würde ich was rausbekommen, hab es noch nicht Probiert.

Es gibt genau eine Lösung.

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Was ist eigentlich, wenn a=-88 gewählt wird ?

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