Projektion

27.01.2015, 22:03	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
Projektion Hallo, ich hab ein echtes Problem mit einer Projektionsaufgabe. $\begin{eqnarray} P_{U}:R^{4} auf R^{4} \end{eqnarray}$ die die Projektion auf dem linearen Unterrraum U = span(v1; v2) ist. $\begin{eqnarray} v_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\1\\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v_{2}=\begin{pmatrix} 1 \\1 \\1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimme die matrix $\begin{eqnarray} P_{U} \end{eqnarray}$ ich würde folgendermaßen vorgehen. ich würde per gramschmidt die vektoren u1 und u2 bilden $\begin{eqnarray} u_{1} =\frac{1}{4} \begin{pmatrix}1\\ -1\\1\\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} u_{2} =\frac{1}{\sqrt{44}} \begin{pmatrix}3\\ 5\\3\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dann die formel $\begin{eqnarray} P(x)=<x.u_{1} >u_{1}+<x.u_{2}>u_{2} \end{eqnarray}$ anwenden ich komme aber im leben nicht auf das richtige ergebnis. schon das x in meiner formel nervt mich. da muss doch ein vektor mit zahlen stehen, sonst erhalte ich in der projektionsmatrix doch auch x... obwohl das ergebnis wie folgt aussieht: [attach]37002[/attach]
28.01.2015, 11:48	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In deiner Rechnung ist ein Schreibfehler: Der Normierungsfaktor im Vektor $\begin{eqnarray} \vec u_1 \end{eqnarray}$ muss lauten $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{\sqrt{4}}=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray}$ . ---------------------------------- Ich erkläre mal ganz allgemein, wie man auf die Projektionsmatrix kommt: Jeder Vektor $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ lässt sich als Linearkombination von 4 orthonormalen Basisvektoren $\begin{eqnarray} \vec u_1,\vec u_2,\vec u_3,\vec u_4 \end{eqnarray}$ darstellen: $\begin{eqnarray} \vec x=c_1\vec u_1+c_2\vec u_2+c_3\vec u_3+c_4\vec u_4 \end{eqnarray}$ Die unbekannten Koeffizienten $\begin{eqnarray} c_i \end{eqnarray}$ mit i=1,2,3,4 gewinnt man, indem man diese Linearkombination nacheinander mit mit dem Einheitsvektor $\begin{eqnarray} u_i \end{eqnarray}$ multipliziert. Wegen der Orthonormiertheit der Basis fallen bei dieser Multiplikation auf der rechten Seite jeweils 3 Summanden weg und man erhält die Koeffizienten $\begin{eqnarray} \vec x\cdot u_i=c_i \end{eqnarray}$ (So einfach ist es aber nur bei orthonormierten Basen!!!). Einsetzen der Koeffizienten in die obige Linearkombination liefert $\begin{eqnarray} \vec x=(\vec x\cdot u_1)\cdot \vec u_1+(\vec x\cdot u_2)\cdot \vec u_2+(\vec x\cdot u_3)\cdot \vec u_3+(\vec x\cdot u_4)\cdot \vec u_4 \end{eqnarray}$ Dich interessiert nur die Projektion dieses Vektors $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ auf die Ebene, die von den $\begin{eqnarray} \vec u_1, \vec u_2 \end{eqnarray}$ aufgespannt wird. Wir lassen also in der Linearkombination den 3. und 4.Summanden einfach weg und erhalten die Projektion $\begin{eqnarray} \vec x_P=(\vec x\cdot u_1)\cdot \vec u_1+(\vec x\cdot u_2)\cdot \vec u_2 \end{eqnarray}$ Ausführlich heißt das $\begin{eqnarray} \vec x_P=(x_1u_{11}+x_2u_{12}+x_3u_{13}+x_4u_{14})\cdot \begin{pmatrix} u_{11} \\ u_{12} \\ u_{13}\\ u_{14} \end{pmatrix}+(x_1u_{21}+x_2u_{22}+x_3u_{23}+x_4u_{24})\cdot\begin{pmatrix} u_{21} \\ u_{22} \\ u_{23}\\ u_{24} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In Matrixschreibweise heißt das $\begin{eqnarray} \vec x_P=\begin{pmatrix} u_{11}u_{11} & u_{12}u_{11} & u_{13}u_{11} & u_{14}u_{11}\\ u_{11}u_{12} & u_{12}u_{12} & u_{13}u_{12} & u_{14}u_{12}\\ u_{11}u_{13} & u_{12}u_{13} & u_{13}u_{13} & u_{14}u_{13} \\ u_{11}u_{14} & u_{12}u_{14} & u_{13}u_{14} & u_{14}u_{14}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\x_4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} u_{21}u_{21} & u_{22}u_{21} & u_{23}u_{21} & u_{24}u_{21}\\ u_{21}u_{22} & u_{22}u_{22} & u_{23}u_{22} & u_{24}u_{22}\\ u_{21}u_{23} & u_{22}u_{24} & u_{23}u_{23} & u_{24}u_{23} \\ u_{21}u_{24} & u_{22}u_{24} & u_{23}u_{24} & u_{24}u_{24}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\x_4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Fasse die rechte Seite so zusammen, dass nur noch eine Matrix da steht. Setze dann die bekannten Komponenten $\begin{eqnarray} u_{ij} \end{eqnarray}$ ein und du hast die gesuchte Projektionsmatrix.
28.01.2015, 13:34	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deine ausführliche antwort. ich versuche das ganze mal aufzuschreiben. denn ich komme immer noch nichtauf das richtige ergebnis. $\begin{eqnarray} P(x)= <\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\\x_4 \end{pmatrix} .\begin{pmatrix} 1 \\-1 \\1\\-1 \end{pmatrix}>\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 \\-1 \\1\\-1 \end{pmatrix}+<\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\\x_4 \end{pmatrix} .\begin{pmatrix} 3 \\5 \\3\\1 \end{pmatrix}>\frac{1}{44 } \begin{pmatrix}3 \\5 \\3\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ==\begin{pmatrix} x_1-x_2+x_3-x_4\\-(x_1-x_2+x_3-x_4) \\x_1-x_2+x_3-x_4\\-(x_1-x_2+x_3-x_4) \end{pmatrix} \frac{1}{4}+\begin{pmatrix} 3x_1+5x_2+3x_3+x_4\\3x_1+5x_2+3x_3+x_4\\3x_1+5x_2+3x_3+x_4\\3x_1+5x_2+3x_3+<br /> x_4 \end{pmatrix} \frac{1}{44 } \end{eqnarray}$ aber da bin ich schon wieder auf dem holzweg, weil keine wurzel entstehen wird.... wenn die 44 unter einer wurzel stehen würde, dann wäre ich dem ergebnis deutlich näher, aber die werte stimmen aber dennoch nicht
28.01.2015, 14:12	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze doch einfach die Komponenten deiner beiden normierten Basisvektoren in die Formel in der letzten Zeile meines vorherigen Beitrages ein: $\begin{eqnarray} \vec u_1=\begin{pmatrix} u_{11} \\ u_{12} \\ u_{13} \\ u_{14} \end{pmatrix} =\tfrac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec u_2=\begin{pmatrix} u_{21} \\ u_{22} \\ u_{23} \\ u_{24} \end{pmatrix} =\tfrac{1}{\sqrt{44}}\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist eine ganz stupide Arbeit, die keinerlei Theorie erfordert. Die Projektionsmatrix hängt nur von diesen beiden Vektoren ab. In dieser Matrix dürfen also die Komponenten des Vektors $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ nicht mehr vorkommen.
28.01.2015, 20:09	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
okok alles klar. aber hier $\begin{eqnarray} \vec x_P=(\vec x\cdot u_1)\cdot \vec u_1+(\vec x\cdot u_2)\cdot \vec u_2 \end{eqnarray}$ benutzt du beim skalarprodukt die u-vektoren anscheinend ohne vorfaktor. aber normal gehört da doch genauso der vorfaktor hinain, dieser wird dann quadriert. und deshalb zu 1/4 bzw 1/44
29.01.2015, 09:00	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht. Die Vorfaktoren gehören natürlich in die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec u_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec u_2 \end{eqnarray}$ "hinein", denn beide müssen orthogonal und auf 1 normiert sein. Setze die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec u_1, \vec u_2 \end{eqnarray}$ einfach in die beiden Matrizen in der letzten Formel meiner Herleitung ein. Beim Quadrieren entstehen dabei gewisse Zahlen 1/4 und 1/44. Aber diese speziellen Zahlenwerte sind doch völlig unwesentlich. Versuche die Herleitung der Projektionsmatrix zu verstehen!!!
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »