Allgemeine Formel für A^n

28.01.2015, 06:30

roby

Allgemeine Formel für A^n

Hey,

fur die folgende Matrix
$\begin{eqnarray*} A :=\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

soll ich eine allgemeine Formel für $\begin{eqnarray*} A^n \end{eqnarray*}$ angeben.

$\begin{eqnarray*} A^1 =\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} A^2 :=\begin{pmatrix} a^2 & 2a & 1 \\ 0 & a^2 & 2a \\ 0 & 0 & a^2 \end{pmatrix} A^3 :=\begin{pmatrix} a^3 & 3a^2 & 3a \\ 0 & a^3 & 3a^2 \\ 0 & 0 & a^3 \end{pmatrix} A^4 :=\begin{pmatrix} a^4 & 4a^3 & 6a^2 \\ 0 & a^4 & 4a^3 \\ 0 & 0 & a^4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe ein wenig gegoogelt und bin auf die Jordan-Normalform gestossen.http://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform

Allerdings hatten wir dieses noch nicht - gibt es einen anderen weg ?

Gruss

28.01.2015, 07:54

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RE: Allgemeine Formel für A^n
Benutze $\begin{eqnarray*} A=aE+B \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix und $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.01.2015, 07:54

tmo

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Und du erkennst da keine Regelmäßigkeiten, die man beispielsweise mit Induktion nachweisen könnte?

Man kann sich das ganze auch folgendermaßen klarmachen:

Es ist $\begin{align*} A = aE+N \end{align*}$ mit $\begin{align*} N^3 = 0 \end{align*}$ und somit

$\begin{align*} A^n = a^nE+na^{n-1}N+\frac{n(n-1)}{2}a^{n-2}N^2 \end{align*}$ .

28.01.2015, 12:04

roby

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hey,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A=aE+B \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix und $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

versteh ich, allerdings bei $\begin{eqnarray*} A^n = a^n E + ... \end{eqnarray*}$
komme ich nicht weiter :-/ und die Antwort von tmo verstehe ich leider nicht.
Wieso $\begin{eqnarray*} N^3=0 \end{eqnarray*}$ ..

Über eine weitere Hilfestellung werd ich mich freuen :P

28.01.2015, 13:30

tmo

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Bei mir heißt B halt N...

Rechne N $\begin{align*} ^3 \end{align*}$ doch einfach mal aus.

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