Richtungsfeld ist Source

28.01.2015, 13:54	SamuelMooreWalton	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtungsfeld ist Source Ich habe ein Richtungsfeld R=(x,y). Das ist eine Source, nicht Sink oder Saddle. (Alle Eigenvalues der Jacobi-Matrix >0) Die Frage: Was bedeutet das für die Lösungskurve? Einfacher: Was bedeutet es für eine Lösungskurve wenn das Richtungsfeld eine Source ist? Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
29.01.2015, 08:43	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du das Richtungsfeld expliziter Differenzialgleichungen 1.Ordnung, also $\begin{eqnarray} y'=f(x,y) \end{eqnarray}$ ? In diesem Falle versteht man unter einem Richtungsfeld ein Vektorfeld, das jedem Punkt (x,y) einen Einheitsvektor $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ zuordnet, welcher in Richtung der lokalen Lösungskurve zeigt und folglich den Anstieg m=y' hat. Dieser Einheitsvektor (=Richtungsfeld) lautet $\begin{eqnarray} \vec n(x,y)=\begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\phi)}} \\ \tfrac{\tan(\phi)}{\sqrt{1+\tan^2(\phi)}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{1+y'^2}} \\ \tfrac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{1+f^2}} \\ \tfrac{f}{\sqrt{1+f^2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Willst du aus der Divergenz dieses Vektorfeldes irgendwelche Schlussfolgerungen ableiten? Das wäre mir neu. ------------------------- In der klassischen Mechanik gibt es den "Satz von Liouville", der besagt, dass die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes im Phasenraum verschwindet.
29.01.2015, 19:36	SamuelMooreWalton	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, die ganze Aufgabe: Die DGL (das Richtungsfeld) lautet $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x\\y-x\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Ich berechne die Equilibrien: Das einzige Equilibrium ist bei $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow J_F=\begin{pmatrix}3 & 0\\-1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hat die Eigenvalues $\begin{eqnarray} \lambda_1=3 \ \& \ \lambda_2=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Re(\lambda_1)\neq0 \ \& \ \Re(\lambda_2)\neq0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_1>0 \ \& \ \lambda_2>0\Rightarrow \end{eqnarray*}$ Das Equilibrium ist eine Source... Die Frage die ich nicht ganz verstehe: Was bedeutet das für die Lösungskurven?

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