Untervektorraum so begründen?

28.01.2015, 15:26

fx-85DE

Untervektorraum so begründen?

Meine Frage:
Hallo,

Es sei $\begin{eqnarray*} P_2=\left\{a_0 +a_1x+ a_2x² \right\} \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der Polynome von grad <=2. Überprüfen Sie ob folgende Mengen Unterräume von P2 sind

$\begin{eqnarray*} A=\left\{p\left(x\right)=ax² \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich wollte wissen ob es so richtig ist wie ich es begründe.

Zuerst überprüfe ich ob der Nullvektor in P2 entahlten ist.

$\begin{eqnarray*} 0+0x+0x²=0 \end{eqnarray*}$ -> Nullvektor enthalten.

dann auf abgeschlossenheit bzgl. Addition.

$\begin{eqnarray*} 0+0x_1+0x_1²=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0+0x_2+0x_2²=0 \end{eqnarray*}$
0+0=0 -> abgeschlossenheit bzgl. Addition bewießen

dann auf abgeschl. bzgl. Multiplikation prüfen
$\begin{eqnarray*} 0*0x_1*0x_1²=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0*0x_2*0x_2²=0 \end{eqnarray*}$
0*0=0 -> abgeschl. bzgl. Multiplikation bewießen.

dankeschön

28.01.2015, 15:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektorraum so begründen?

Zitat:

Original von fx-85DE
Zuerst überprüfe ich ob der Nullvektor in P2 entahlten ist.

$\begin{eqnarray*} 0+0x+0x²=0 \end{eqnarray*}$ -> Nullvektor enthalten.

Das ist keine Begründung. Du mußt nicht schauen, ob der Nullvektor in P2 enthalten ist, sondern in A. Dazu mußt du schauen, ob es ein a gibt, so daß sich der Nullvektor in der Form a*x² darstellen läßt.

Zitat:

Original von fx-85DE
dann auf abgeschlossenheit bzgl. Addition.

$\begin{eqnarray*} 0+0x_1+0x_1²=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0+0x_2+0x_2²=0 \end{eqnarray*}$
0+0=0 -> abgeschlossenheit bzgl. Addition bewießen

dann auf abgeschl. bzgl. Multiplikation prüfen
$\begin{eqnarray*} 0*0x_1*0x_1²=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0*0x_2*0x_2²=0 \end{eqnarray*}$
0*0=0 -> abgeschl. bzgl. Multiplikation bewießen.

Da hast du was falsch verstanden. Bei der Addition mußt du zwei Vektoren p1 und p2 aus der Menge A nehmen und prüfen, ob p1 + p2 wiederum ein Element von A ist. Analog die skalare Multiplikation.

28.01.2015, 15:43

fx-85DE

Auf diesen Beitrag antworten »

also muss ich zuerst zeigen dass

$\begin{eqnarray*} 0*x²=0 \end{eqnarray*}$

und dann dass aus

$\begin{eqnarray*} 0*x_1²=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0*x_2²=0 \end{eqnarray*}$

folgt dass 0+0=0

und das Gleiche dann mit multiplikation oder wie??

28.01.2015, 17:03

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Da klarsoweit grad nicht online ist, übernehme ich kurz.
Du musst die drei Unterraumkriterien zeigen. In deinem Fall bedeutet das folgendes:

(1) $\begin{eqnarray*} p(x)=0 \forall x \Rightarrow p\in A \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} p,q \in A \Rightarrow p+q \in A \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} p \in A, \lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow \lambda p \in A \end{eqnarray*}$

28.01.2015, 17:10

fx-85DE

Auf diesen Beitrag antworten »

also so, wie ich es in meinem letzten beitrag gemacht habe - nur halt noch formeller hingeschrieben oder

28.01.2015, 17:13

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, denn Du hast ja nur ein einziges Element des Unterraums betrachtet.
Es gibt aber doch einige mehr als nur die Nullfunktion.

Neue Frage »

Antworten »

Untervektorraum so begründen?

Verwandte Themen