Erklärung Häufungspunkt einer Menge und einer Folge

28.01.2015, 22:23	Yegor	Auf diesen Beitrag antworten »
Erklärung Häufungspunkt einer Menge und einer Folge Meine Frage: Servus zusammen! Ich habe ein Verständnisproblem, was die Häufungspunkte einer Menge und einer Folge angeht. Leider finde ich dazu nichts nützliches im Internet, die mir tatsächlich helfen können. Denn, oft stehen die ganz normalen Definitionen aus Büchern und Wikipediaseiten (was viele "Spezialisten" hier in Internetforen oft tun). Doch eine einfache und für mich nachvollziehbare Erklärung finde ich leider nirgendwo, vor allem mit nachvollziehbaren Beispielen. Bitte, mag einer probieren mir Häufungspunkt einer Menge und einer Folge zu erklären. Und bitte (!) ohne irgendwelchen Links auf Wikipediaseiten oder den Standarddefinitionen aus Mathematikbüchern, diese habe ich tausendmal durchgelesen, doch so richtig helfen sie mir nicht. Da es oft eine Ausführliche Erklärung und gute Beispiele fehlen. Ich werde jedem sehr dankbar sein, der es probiert so einem Idiot, wie ich, dieses Thema zu erklären! Vielen lieben Dank schon im Voraus! Mit freundlichen Grüßen Yegor Meine Ideen: Zum Beispiel auf Wikipedia steht: "In der Analysis ist ein Häufungspunkt einer Menge anschaulich ein Punkt, der unendlich viele Punkte der Menge in seiner Nähe hat." Einerseits verstehe ich in irgendeiner Weise diese Aussage. Doch dann praktisch bei Mengen/Folgen kann ich das nicht nachvollziehen und schon gar nicht bestimmen. Was ich verstanden habe (sicher bin ich mir aber nicht), dass ein Häufungspunkt einer Menge, ein Grenzwert der Menge ist. Doch, ist es wirklich so banal?
29.01.2015, 09:16	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich fange zuerst mal mit Häufungspunkten von mengen an. Um die Häufungspunkte von Folgen kümmern wir uns später, ok? Man kann Häufungspunkte nicht 1:1 mit Grenzwerten identifizieren, nein. Es gibt aber durchaus einen Zusammenhang, zu dem ich weiter unten komme Ich versuche es zuerst einmal anders: Du hast eine Menge von Punkten, und du wählst einen Punkt, von dem du glaubst, er sei ein Häufungspunkt. Dann malst du einen Kreis um ihn herum und schaust: Sind da noch andere Punkte aus der Menge drin? Wenn nein, dann ist er kein Häufungspunkt. Wenn ja, dann malst du einen neuen, kleineren Kreis und schaust wieder. Dieses Spiel wiederholst du im Grunde unendlich oft. Egal, wie klein du den Kreis um deinen Häufungspunkt wählst, es muss immer noch ein anderer Punkt drinliegen (das impliziert, dass in jedem Kreis sogar unendlich viele drin sind) Kommen wir zu ein paar praktischen Beispielen: $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ hat keine Häufungspunkte, denn mit dem Radius $\begin{eqnarray} \frac 14 \end{eqnarray}$ liegt kein anderer Punkt in $\begin{eqnarray} ]n-\frac14,n+\frac14[ \end{eqnarray}$ Dagegen ist jeder Punkt von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ein Häufungspunkt, denn: Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ dicht in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist, gibt es ein $\begin{eqnarray} q\in\mathbb Q: 0<q<\varepsilon \end{eqnarray}$ . Und damit passt es, denn: $\begin{eqnarray} \forall p\in\mathbb Q:\forall\varepsilon>0:\exists q\in\mathbb Q:\|p-q\|<\varepsilon \end{eqnarray}$ Jetzt zu den Grenzwerten. Wenn du eine Folge hast, die komplett in einer Menge liegt, z.B. $\begin{eqnarray} a_n=\frac 1n \end{eqnarray}$ in der Menge $\begin{eqnarray} \{\frac 1z\|z\in\mathbb Z\} \end{eqnarray}$ , dann ist der Grenzwert der Folge ein Häufungspunkt der Menge. Generell kann man Häufungspunkte ja schließlich auch über Folgen charakterisieren (allerdings ist dieses Kriterium nicht wirklich anwendbar, um sie zu bestimmen - die Folgen können ganz schön wirr aussehen). Damit etwas klarer geworden? Wenn dem nicht so ist, dann versuch mal, deine Verständnisprobleme zu umreißen Lg kgV
29.01.2015, 11:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Anmerkung noch: Ein Häufungspunkt einer Folge $\begin{align} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{align}$ (besser: Häufungswert) ist nicht notwendig auch ein Häufungspunkt der Menge $\begin{align} \left\{ a_n \bigm\| n\in\mathbb{N} \right\} \end{align}$ - einfaches Beispiel dafür sind konstante Folgen.
29.01.2015, 15:57	Yegor	Auf diesen Beitrag antworten »
@kgV , je öfter ich dein Beitrag durchlese, desto klarer wird es mir! Vielen lieben Dank! Jetzt verstehe ich es endlich! LG Yegor
29.01.2015, 17:38	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen

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