Cauchy Produkt bei Reihen verschiedener Indizes

28.01.2015, 22:24

otto95

Cauchy Produkt bei Reihen verschiedener Indizes

Meine Frage:
Hi,

ich habe zwei Reihen, welche ich mit dem Cauchy-Produkt multiplizieren will, diese haben aber unterschiedliche Indizes . Reihe 1 startet bei n=1 und Reihe 2 bei n=0. Herausfinden möchte ich a n.
Die Lösung zeigt, dass der ober Index nun n-1 ist, aber ich verstehe nicht warum. Kann mir da jmd helfen?

Meine Ideen:
Grundsätzlich verstehe ich das C-Produkt, aber ich weiß eben nicht, wie ich mit den unterschiedlichen Indizes umgehen soll. Ich möchte Anfangs ohne Indexverschiebung vorgehen.

28.01.2015, 22:46

HAL 9000

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Wenn beide bei Index 0 beginnen sollen, weil es dich sonst (aus welchen Gründen auch immer) stört, dann ziehe doch einfach Faktor $\begin{align*} (x-1) \end{align*}$ aus der ersten Summe raus:

$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1)^n = (x-1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1)^{n-1} = (x-1)\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+2}}{n+1} (x-1)^n \end{align*}$ ,

im letzten Schritt fand da noch eine Indexverschiebung statt.

EDIT: Achso, Indexverschiebung magst du auch nicht, na sowas. Na dann bleibt dir nichts anderes übrig, als Koeffizient 0 der ersten Reihe auf Wert 0 zu setzen.

Zitat:

Original von otto95
Die Lösung zeigt, dass der ober Index nun n-1 ist,

Lösung wovon? Welcher obere Index? Solche Feststellungen sind für den Leser völlig sinnfrei, wenn du nicht mal die leiseste Andeutung machst, von welchen Term (Summe?) du da redest. unglücklich

28.01.2015, 23:58

otto95

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schon mal danke für die Hilfe!

auf dem Bild ist zu sehen was ich meinte. Du hast recht, es war etwas unglücklich formuliert von mir.

29.01.2015, 11:20

HAL 9000

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Ok, zur Einordnung: Wir haben hier

$\begin{align*} \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n (x-1)^n \right)\cdot \left( \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-1)^n \right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-1)^n \end{align*}$

als allgemeine Situation vorliegen. Unter hinreichenden Bedingungen (beide Ausgangsreihen absolut konvergent) ist dann für diese Cauchy-Produktreihe

$\begin{align*} a_n = \sum_{k=0}^n b_k c_{n-k}\qquad (*) \end{align*}$ .

Im vorliegenden Fall ist nun $\begin{align*} b_n = (-1)^n \end{align*}$ sowie

$\begin{align*} c_n = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\, n=0 \\ \frac{(-1)^{n+1}}{n} & \;\mbox{für}\, n\geq 1 \end{cases} \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ bedeutet dies $\begin{align*} a_0 = \sum_{k=0}^0 b_k c_{0-k} = b_0c_0 = 0 \end{align*}$ , so dass bei $\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-1)^n \end{align*}$ auch erst mit $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ begonnen werden kann. Und für $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ kann beim Einsetzen in (*) der letzte Summand für $\begin{align*} k=n \end{align*}$ eben wegen $\begin{align*} c_0=0 \end{align*}$ weggelassen bleiben, so dass nur noch

$\begin{align*} a_n = \sum_{k=0}^{n-1} b_k c_{n-k} = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \cdot \frac{(-1)^{n-k+1}}{n-k} \end{align*}$

übrigbleibt. Alles klar?

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