Komplexes Polynom Fundamentalsatz Algebra

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Peli Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes Polynom Fundamentalsatz Algebra
Hi

ja sry ich wieder hoffe ich nehme euch hier nicht allzuviel in Anspruch. Versprochen wenn ichs kann helfe ich dann auch anderen mit, gefällt mir das Forum hier.

Gegeben ist das komplexe Polynom



Faktorisieren sie das polynom vollständig, falls Ihnen folgendes bereitsl bekannt ist:

i) Die konjungiert Komplexe einer Nullstelle dieses Polynoms ist ebens eine Nullstelle des Polynoms

ii) 1 + 2i ist eine Nullstelle

So ich bin so weit gekommen:

[attach]37024[/attach]
[attach]37025[/attach]

In meinen unterlagen steht:

f(z) = an * (z-z1) * (z-z2) *.....(z-zn)
Bei uns ging das ganze aber immer auf. Bei mir hängt es jetzt aber an den beiden komplexen Zahlen für 1+2i und 1-2i.

Wäre das hier richtig?

f(z) = (z-1) * (z - (-2)) * (z - 2i) * (z - (-2)i) ??

oder muss ich für die beiden komplexen Zahlen irgendwas umrechnen usw?

Danke schon einmal
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstellen stimmen, also ist .
Peli Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok danke dir bin also nicht weit weg von der Lösung

.


die Zwei (an) ist doch die Anfangszahl mit der mein Polynom anfängt oder?

f(z) = an * (z-z1) * (z-z2) *.....(z-zn)

also Polynom:



Noch eine Frag zu deiner Lösung:



Wieso wird die 1 negativ? Machen wir das einfach immer so? Ist es in jedem Fall so wenn wir eine komplexe Zahl als Nullpunkt raus bekommen?

Danke!!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ist eine Nullstelle, so ist ein Faktor des Polynoms. vor jeder Nullstelle steht ein Minuszeichen.
Die 2 kommt als Faktor dazu, weil jedes Monom des Polynoms den Faktor 2 enthält, nicht nur .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ist eine Nullstelle, so ist ein Faktor des Polynoms. vor jeder Nullstelle steht ein Minuszeichen.

Übrigens auch bei rein reellen (bezugnehmend auf die Frage von Peli). Augenzwinkern


Da komischerweise sehr viele den Denkfehler begehen, den falschen Linearfaktor statt des richtigen zu nehmen, folgende "Gedankenstütze":

in diesen Linearfaktor eingesetzt muss 0 ergeben! Das sichert die Subtraktion, nicht die Addition.
Peli Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke euch

Hal darf ich das so verstehen. Die richtige Lösung lautet:

?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich schon geschrieben. Bekanntlich ist -(-2)=+2 . UND: du hast noch eine Klammer vergessen.

ist nicht nur bei reellen oder komplexen Nullstellen eine Faktor des Polynoms, das gilt in jedem beliebigen Polynomring.
Peli Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage. Ich hatte die gleiche Aufgabe in der letzten KL gehabt konnte die aber nicht lösen weil verschiedene Variablen hatte.

Das ganze hatte ca so ausgesehen:



Das sollten wir dann faktorisieren. Bisher habe ich aber weder in meinen Unterlagen (der Prof schreibt alles sehr bescheiden auf da wir kaum Zeit haben) noch in irgendwelchen Büchern gefunden. Sollen diese Variablen einfach nur verwirren und ich behandel die alle gleich oder setzte die alle auf ein gemeinsames nähmlich x zum Bsp?
Peli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Das habe ich schon geschrieben. Bekanntlich ist -(-2)=+2 . UND: du hast noch eine Klammer vergessen.

ist nicht nur bei reellen oder komplexen Nullstellen eine Faktor des Polynoms, das gilt in jedem beliebigen Polynomring.


Ja danke stimmt mit der Klammer. Ne das war mir schon klar das deine Lösung richtig war ich bezog mich nur auf Hal mit seiner Form, so hatte ich das verstanden jedenfalls.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das andere Problem hat ein paar ganzzahlige Lösungen, z.B. . Ob das beim Faktorisieren hilft, weiß ich nicht. Allgemein hat das natürlich unendlich viele Lösungen, weil man z.B. nach c auflösen kann und dabei 2 Quadratwurzeln in a und b erhält. Auch da weiß ich nicht, ob das das Polynom in 3 Variablen faktorisiert.
Peli Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Ich hab mir mal heute die alte KL aus dem Sommersemester besorgt. Das wäre zum Beispiel so eine Aufgabe wo ich null weiß wie ich an die ran gehen soll unglücklich . Ich verstehe die Bedingungen also das bekannte aber null Ahnung was ich mit denen anstellen muss bzw die Aufgabe überhaupt anfange:



Bestimmen Sie die Koeffizienten . Über die drei Nullstellen des Polynoms ist dabei folgendes bekannt:

a)

b) ist reel und kleiner Null

c)

d) = rein imaginär

e) ¬

f)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

hast du schon, und bekommst du sofort aus f) . Jetzt faktorisierst du mal schön , und dann kann es doch nicht mehr schwer sein.
Die Beträge der Nullstellen sind alle gleich , weil mit einer komplexen Nullstelle auch das dazu konjugiert komplexe eine Nullstelle ist (das steht in e) sogar da für jeden, der das noch nicht weiß).
Wenn du schreibst, hast du auch gleich die entsprechende Darstellung für die anderen beiden Nullstellen, damit sieht die Faktorisierung noch einfacher aus.
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