Ismorphiesatz Beispiel

29.01.2015, 12:27

loyloep

Ismorphiesatz Beispiel

Ich gehe gerade die Isomorphiesätze durch mit Beispielen. Für den ersten Isomorphiesatz gibt es ein Beispiel, das ich nicht vollkommen verstehe. Vielleicht kann mir jemand dabei helfen.

Betrachte $\begin{eqnarray*} \varphi \ : \mathbb Z \rightarrow \mathbb Z_n, \qquad k \rightarrow [k_n] \end{eqnarray*}$

Diese Abbildung ist surjektiv, und man hat $\begin{eqnarray*} Ker(\varphi) = n\cdot \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / (n \cdot \mathbb Z) \cong \mathbb Z_n \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe die Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n \end{eqnarray*}$ nicht so ganz. Kann sie mir jemand an ein Beispiel erklären.

Warum gilt $\begin{eqnarray*} Ker(\varphi) = n\cdot \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

Wie sieht (am besten an einem Beispiel) $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / (n \cdot \mathbb Z) \end{eqnarray*}$ aus?

29.01.2015, 12:28

loyloep

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Wie ist der Name der Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n \end{eqnarray*}$ ?

29.01.2015, 12:37

Captain Kirk

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Zyklische Gruppe der Ordnung n.

29.01.2015, 13:28

Elvis

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Beispiel $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2=\{[0],[1]\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} [1]+[1]=[0] \end{eqnarray*}$ . Das sind die Restklassen bei ganzzahliger Division durch 2.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n=\{[0],...,[n-1]\} \end{eqnarray*}$ . Das sind die Restklassen bei ganzzahliger Division durch n. Wie Captain Kirk gesagt hat ist das eine zyklische Gruppe der Ordnung n.

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2 \mathbb Z=\{0+2\mathbb Z,1+2\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1+2\mathbb Z+1+2\mathbb Z=0+2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z=\{0+n\mathbb Z,...,(n-1)+n\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$

29.01.2015, 14:28

loyloep

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Danke für Eure Beiträge. Sehr hilfreich. Ich werde gleich mal weiter googlen nach zyklischer Gruppe und mehr herausfinden. :-)

29.01.2015, 14:33

Elvis

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Suche auch nach Untergruppen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und nach Kongruenz modulo n .

29.01.2015, 14:39

Captain Kirk

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@Elvis:
Im Eröffnungsbeitrag steht:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z / (n \cdot \mathbb Z) \cong \mathbb Z_n \end{eqnarray*}$ .

die Vorlesung macht also anscheinend einen Unteschied zwischen Restklassenringen und der zyklischen Gruppe von Ordnung n (obwohl die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ noch unmissverständlicher wäre).
@loyloep: Ein genauer Blick in deine Unterlagen wäre wohl sinnvoller, da in diesem Kontext sehr viel Notation sehr unteschiedlich genutzt wird.
Wie definiert ihr denn $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n \end{eqnarray*}$ ?

29.01.2015, 18:16

Elvis

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Die Unterscheidung zwischen der zyklischen Gruppe $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ und der Restklassengruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z_n,+) \end{eqnarray*}$ ist sicher berechtigt, da erstere den allgemeinen Isomorphietyp, die letztere eine konkrete Gruppe bezeichnet. Dem entsprechend habe ich meine Antworten aufgebaut.

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